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Fh(f)1025 1426 y Fk(\001)1076 1425 y Fp(\026)1071 1426 y Fe(v)e Fp(=)1249 1302 y Ff(Z)1299 1508 y Fh(@)t Fi(\012)1391 1516 y Fd(\021)1429 1508 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))p Ft(n)p Fi(\000)1587 1517 y Fg(0)1643 1426 y Fp(\()p Fk(\000)p Fp(2)p Fl(\027)6 b(D)s Fp(\()p Fe(u)p Fp(\))21 b Fk(\001)f Fe(n)2175 1440 y Fh(t)2225 1426 y Fp(+)g Fl(p)p Fe(n)2420 1440 y Fh(t)2450 1426 y Fp(\))g Fk(\001)h Fe(v)q Fl(;)198 b Fk(8)p Fe(v)q Fl(;)293 b Fp(\(6\))382 1704 y(where)36 b Fl(D)s Fp(\()p Fe(u)p Fp(\))g(=)f(\()p Fk(r)p Fe(u)25 b Fp(+)f(\()p Fk(r)p Fe(u)p Fp(\))1492 1671 y Fh(T)1547 1704 y Fp(\))p Fl(=)p Fp(2)38 b(is)e(the)h(strain)e(tensor,)j Fe(n)2599 1718 y Fh(t)2666 1704 y Fp(denotes)f(the)f(outer)382 1840 y(unit)30 b(normal)h(at)h Fl(!)1054 1854 y Fh(\021)1095 1840 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))c(=)f Fl(@)5 b Fp(\012)1443 1854 y Fh(\021)1485 1840 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))22 b Fk(n)f Fp(\000)1733 1854 y Fi(0)1772 1840 y Fp(,)33 b(and)2013 1839 y(\026)2008 1840 y Fe(v)q Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\))29 b(=)e Fe(v)q Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g Fp(1)23 b(+)e Fl(\021)s Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\)\),)382 1975 y Fk(8)p Fp(\()p Fl(x;)g(y)s Fp(\))26 b Fk(2)e Fl(!)s Fp(.)38 b(Note)25 b(here)e(that)g(the)g(pressure)f Fl(p)h Fp(is)f(not)h(de\014ned)f(up)g(to)i(a)f(constan)m(t)h(but)382 2111 y(is)e(uniquely)f(de\014ned.)37 b(Its)24 b(a)m(v)m(erage)i(v)-5 b(alue)23 b(ensures)f(the)i(global)e(v)m(olume)i(conserv)-5 b(ation)382 2246 y(of)26 b(the)f(\015uid)e(ca)m(vit)m(y)-8 b(.)41 b(This)24 b(a)m(v)m(erage)k(is)c(in)h(fact)h(the)g(Lagrange)g(m) m(ultiplier)c(asso)s(ciated)382 2382 y(with)29 b(the)i(compatibilit)m (y)d(condition)h(\(5\).)382 2617 y Fe(Remark)34 b(1)46 b Fc(A)n(t)32 b(le)-5 b(ast)34 b(formal)5 b(ly)34 b(we)f(have)g(that) 992 2844 y Fp(\(2)p Fl(D)s Fp(\()p Fe(u)p Fp(\))21 b Fk(\001)g Fe(n)1403 2858 y Fh(t)1432 2844 y Fp(\))1467 2858 y Fi(3)1532 2844 y Fp(=)k(\()p Fk(r)p Fe(u)c Fk(\001)f Fe(n)1921 2858 y Fh(t)1951 2844 y Fp(\))1986 2858 y Fi(3)2026 2844 y Fl(;)108 b Fc(on)33 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%%Page: 7 7 7 6 bop 382 548 a Fp(with)29 b Fl(\016)g Fk(2)c Fl(W)843 515 y Fi(1)p Fh(;)p Ft(1)972 548 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)1260 515 y Fi(2)1301 548 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))21 b Fk(\\)f Fl(H)1651 515 y Fi(1)1690 548 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)1999 515 y Fi(2)1992 572 y(0)2040 548 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\).)523 683 y(Note)35 b(that)g(the)f(functional)e(space)j Fl(H)1867 650 y Fi(1)1906 683 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)2215 650 y Fi(2)2208 708 y(0)2256 683 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))35 b(is)e(con)m(tin)m(uously) g(em)m(b)s(ed-)382 819 y(ded)41 b(in)g Fl(C)755 786 y Fi(0)794 819 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])29 b Fk(\002)p 1158 769 60 4 v 28 w Fl(!)s Fp(\).)76 b(The)42 b(regularit)m(y)f (coming)h(from)f(the)i(energy)f(estimates)382 954 y(therefore)33 b(implies)d(that)j(\012)1342 969 y Fh(\016)1380 954 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))g(is)f(an)h(op)s(en)f(set)h(but)f(is)g(not)h (necessarily)f(Lipsc)m(hitz.)382 1090 y(Consequen)m(tly)-8 b(,)30 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Fp(\))g(de\014ned)e(b)m(y)716 2184 y(\012)782 2199 y Fh(\016)820 2184 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))c(=)1044 2110 y Ff(\010)1097 2184 y Fp(\()p Fl(x;)15 b(y)s(;)g(z)t Fp(\))27 b Fk(2)e Fj(R)1566 2147 y Fi(3)1611 2184 y Fl(;)41 b Fp(\()p Fl(x;)15 b(y)s Fp(\))26 b Fk(2)f Fl(!)s(;)40 b Fp(0)26 b Fl(<)f(z)30 b(<)25 b Fp(1)20 b(+)g Fl(\016)s Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\))2941 2110 y Ff(\011)3011 2184 y Fl(;)382 2411 y Fp(is)41 b(an)h(op)s(en)g (subset)f(of)i Fj(R)1320 2378 y Fi(3)1408 2411 y Fp(for)f(ev)m(ery)h Fl(t)i Fk(2)f Fp([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])44 b(whic)m(h)c(is)i(included) d(in)i Fl(B)3176 2425 y Fh(M)3300 2411 y Fp(=)382 2546 y Fl(!)23 b Fk(\002)d Fp(\(0)p Fl(;)15 b(M)10 b Fp(\).)42 b(Let)1044 2523 y Ff(b)1036 2546 y Fp(\012)1102 2561 y Fh(\016)1170 2546 y Fp(b)s(e)30 b(the)g(op)s(en)g(domain)f(of)i Fj(R)2156 2513 y Fi(4)2232 2546 y Fp(de\014ned)e(b)m(y)1421 2750 y Ff(b)1414 2773 y Fp(\012)1480 2788 y Fh(\016)1543 2773 y Fp(=)1705 2687 y Ff([)1638 2888 y Fh(t)p Ft(2)p Fi(\(0)p 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Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\)\))50 b(is)e(dense)h(in)f Fl(H)1440 5099 y Fi(1)1480 5132 y Fp(\()p Fl(B)1584 5146 y Fh(M)1663 5132 y Fp(\))h(\(resp.,)55 b Fl(H)2133 5099 y Fi(1)2172 5132 y Fp(\(\012)2273 5147 y Fh(\016)2311 5132 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\)\).)98 b(F)-8 b(or)50 b(the)g(densit)m(y)e(of)382 5268 y Fl(C)454 5235 y Fi(1)493 5268 y Fp(\()p 528 5195 V(\012)594 5283 y Fh(\016)632 5268 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))c(in)e Fl(H)1016 5235 y Fi(1)1056 5268 y Fp(\(\012)1157 5283 y Fh(\016)1195 5268 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))i(w)m(e)g(refer)f(to)i ([1,)i(Thm)c(2,)k(p.)c(54])i(\(this)e(theorem)h(has)382 5403 y(to)31 b(b)s(e)f(sligh)m(tly)e(adapted)j(to)g(our)f(case)h(near)g Fk(f)p Fp(\()p Fl(x;)15 b(y)s(;)g Fp(1)22 b(+)e Fl(\016)s Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\)\))p Fl(;)32 b Fp(\()p Fl(x;)15 b(y)s Fp(\))27 b Fk(2)d Fl(@)5 b(!)s Fk(g)p Fp(\).)1854 5652 y(8)p eop %%Page: 9 9 9 8 bop 382 548 a Fe(Corollary)35 b(1)46 b Fc(If)32 b Fl(v)d Fk(2)c Fl(L)1261 515 y Fi(2)1300 548 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)1609 515 y Fi(1)1650 548 y Fp(\(\012)1751 563 y Fh(\016)1789 548 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\)\))33 b Fc(then)g Fl(\015)2244 566 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2363 548 y Fp(\()p Fl(v)s Fp(\))26 b Fk(2)f Fl(L)2654 515 y Fi(2)2693 548 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2981 515 y Fi(2)3022 548 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))p Fc(.)523 783 y Fp(No)m(w)24 b(w)m(e)g(are)f(going)g (to)h(giv)m(e)g(a)f(c)m(haracterization)i(of)e Fl(H)2418 750 y Fi(1)2411 807 y(0)2458 783 y Fp(\(\012)2559 798 y Fh(\016)2596 783 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))h(with)e(the)i(help)d(of) 382 919 y(the)26 b(mapping)e Fl(\015)950 937 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1069 919 y Fp(.)39 b(An)25 b(additional)f (assumption)h(on)h(the)g(b)s(oundary)e(displacemen)m(t)382 1054 y Fl(\016)46 b Fp(is)41 b(needed.)75 b Fl(\016)45 b Fp(is)c(assumed)g(to)i(b)s(elong)e(to)i Fl(C)2128 1021 y Fi(0)2166 1054 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(];)i Fl(H)2525 1021 y Fi(1)2567 1054 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))42 b(\(this)g(is)f(not)h (an)382 1190 y(optimal)29 b(assumption\).)382 1425 y Fe(Lemma)k(2)45 b Fc(Assuming)33 b(that)h Fl(\016)29 b Fk(2)c Fl(C)1682 1392 y Fi(0)1720 1425 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(];)i Fl(C)2068 1392 y Fi(0)2109 1425 y Fp(\()p 2144 1375 60 4 v Fl(!)s Fp(\))21 b Fk(\\)f Fl(H)2424 1392 y Fi(1)2463 1425 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))34 b Fc(then)960 1651 y Fl(H)1043 1614 y Fi(1)1036 1674 y(0)1082 1651 y Fp(\(\012)1183 1666 y Fh(\016)1221 1651 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))26 b(=)1481 1578 y Ff(\010)1534 1651 y Fl(v)j Fk(2)c Fl(H)1776 1614 y Fi(1)1769 1674 y(0)p Fh(;)p Fi(\000)1868 1683 y Fg(0)1906 1651 y Fp(\(\012)2007 1666 y Fh(\016)2045 1651 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))p Fl(;)41 b(\015)2296 1670 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2415 1651 y Fp(\()p Fl(v)s Fp(\))26 b(=)f(0)2699 1578 y Ff(\011)2768 1651 y Fl(:)382 1887 y Fe(Pro)s(of)p Fp(:)45 b(First)31 b(supp)s(ose)g(that)h Fl(v)g Fk(2)27 b Fl(H)1717 1854 y Fi(1)1710 1911 y(0)1757 1887 y Fp(\(\012)1858 1902 y Fh(\016)1896 1887 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\).)46 b(Since)31 b Fl(v)36 b Fp(can)c(b)s(e)f(appro)m(ximated)h(in)382 2022 y Fl(H)465 1989 y Fi(1)458 2046 y(0)504 2022 y Fp(\(\012)605 2037 y Fh(\016)643 2022 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))26 b(b)m(y)f (compactly)h(supp)s(orted)d(functions)h Fl(v)2213 2036 y Fh(")2249 2022 y Fp(,)j(for)e(whic)m(h)e Fl(\015)2736 2041 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2855 2022 y Fp(\()p Fl(v)2934 2036 y Fh(")2971 2022 y Fp(\))i(=)g(0,)i(and)382 2158 y(since)e(the)i(mapping)d Fl(\015)1169 2173 y Fh(\016)1207 2158 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))j(is)e(linear)g(and)g(con)m(tin)m(uous)h (from)g Fl(H)2590 2125 y Fi(1)2583 2182 y(0)2630 2158 y Fp(\(\012)2731 2173 y Fh(\016)2768 2158 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))h(in)m(to)g Fl(L)3176 2125 y Fi(2)3215 2158 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\),)382 2293 y(w)m(e)k(deduce)f(that)h Fl(\015)1063 2312 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1181 2293 y Fp(\()p Fl(v)s Fp(\))26 b(=)f(0.)382 2429 y(Con)m(v)m(ersely)-8 b(,)29 b(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)h(to)f(pro)m(v)m(e)g(that)g(if)e Fl(v)i Fk(2)c Fl(H)2068 2396 y Fi(1)2061 2455 y(0)p Fh(;)p Fi(\000)2160 2464 y Fg(0)2198 2429 y Fp(\(\012)2299 2444 y Fh(\016)2337 2429 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))k(is)e(suc)m(h)h(that)h Fl(\015)3038 2447 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))3157 2429 y Fp(\()p Fl(v)s Fp(\))d(=)382 2564 y(0,)54 b(then)48 b Fl(v)58 b Fk(2)e Fl(H)1033 2531 y Fi(1)1026 2588 y(0)1072 2564 y Fp(\(\012)1173 2579 y Fh(\016)1211 2564 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\).)96 b(W)-8 b(e)49 b(can)g(pro)m(v)m(e)g(b)m(y)g(densit)m (y)f(argumen)m(ts)g(that)h(the)382 2700 y(follo)m(wing)d(Green)h(form)m (ula)g(is)f(v)-5 b(alid,)50 b(for)d(all)f Fl(\016)57 b Fk(2)c Fl(C)2375 2667 y Fi(0)2414 2700 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(];)i Fl(C)2762 2667 y Fi(0)2803 2700 y Fp(\()p 2838 2649 V Fl(!)s Fp(\))32 b Fk(\\)f Fl(H)3140 2667 y Fi(1)3180 2700 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\),)382 2835 y Fl(v)d Fk(2)d Fl(H)623 2802 y Fi(1)616 2862 y(0)p Fh(;)p Fi(\000)715 2871 y Fg(0)754 2835 y Fp(\(\012)855 2850 y Fh(\016)892 2835 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\),)32 b Fl(\036)25 b Fk(2)g Fl(C)1324 2802 y Fi(1)1363 2835 y Fp(\()p 1398 2762 66 4 v(\012)1464 2850 y Fh(\016)1502 2835 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\):)708 3205 y Fk(\000)794 3081 y Ff(Z)844 3287 y Fi(\012)895 3299 y Fd(\016)929 3287 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1029 3205 y Fl(v)s Fk(r)p Fl(\036)g Fp(=)1327 3081 y Ff(Z)1378 3287 y Fi(\012)1429 3299 y Fd(\016)1463 3287 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1563 3205 y Fk(r)p Fl(v)s(\036)20 b Fp(+)1851 3081 y Ff(Z)1901 3287 y Fh(!)1967 3205 y Fl(\015)2014 3223 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2132 3205 y Fp(\()p Fl(v)s Fp(\))p Fl(\015)2296 3223 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2416 3205 y Fp(\()p Fl(\036)p Fp(\))2555 2995 y Ff(0)2555 3155 y(B)2555 3213 y(@)2677 3074 y Fk(\000)p Fl(@)2796 3088 y Fh(x)2840 3074 y Fl(\016)2678 3209 y Fk(\000)p Fl(@)2797 3223 y Fh(y)2838 3209 y Fl(\016)2757 3345 y Fp(1)2925 2995 y Ff(1)2925 3155 y(C)2925 3213 y(A)3020 3205 y Fl(:)164 b Fp(\(11\))382 3523 y(This)32 b(form)m(ula)g(implies)f(that)j(if)f Fl(v)h Fk(2)c Fl(H)1780 3490 y Fi(1)1773 3550 y(0)p Fh(;)p Fi(\000)1872 3559 y Fg(0)1910 3523 y Fp(\(\012)2011 3538 y Fh(\016)2049 3523 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))k(is)f(suc)m(h)g(that)h Fl(\015)2771 3542 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2890 3523 y Fp(\()p Fl(v)s Fp(\))d(=)f(0,)35 b(the)382 3659 y(extended)30 b(function)p 1124 3609 48 4 v 29 w Fl(v)k Fp(de\014ned)29 b(b)m(y)p 1419 3885 V 1419 3935 a Fl(v)g Fp(=)1588 3776 y Ff(\014)1588 3831 y(\014)1588 3885 y(\014)1588 3940 y(\014)1588 3994 y(\014)1659 3872 y Fl(v)34 b Fp(in)29 b(\012)1909 3887 y Fh(\016)1947 3872 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))1659 4007 y(0)i(in)e Fl(B)1910 4021 y Fh(M)2009 4007 y Fk(n)21 b Fp(\012)2141 4022 y Fh(\016)2179 4007 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))382 4224 y(b)s(elongs)40 b(to)i Fl(H)924 4191 y Fi(1)917 4249 y(0)963 4224 y Fp(\()p Fl(B)1067 4238 y Fh(M)1146 4224 y Fp(\).)73 b(Consequen)m(tly)-8 b(,)44 b(the)d(function)f(de\014ned)g(b)m(y)g Fl(v)2912 4238 y Fh(\033)2959 4224 y Fp(\()p Fl(x;)15 b(y)s(;)g(z)t Fp(\))45 b(=)p 382 4310 V 382 4360 a Fl(v)s Fp(\()p Fl(x;)15 b(y)s(;)g(\033)s(z)t Fp(\))p Fl(;)33 b(\033)45 b Fk(\025)e Fp(1,)h(is)39 b(in)h Fl(H)1464 4327 y Fi(1)1457 4384 y(0)1503 4360 y Fp(\(\012)1604 4375 y Fh(\016)1642 4360 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\).)73 b(Since)40 b(it)g(con)m(v)m(erges)j(to)e Fl(v)j Fp(in)c Fl(H)3054 4327 y Fi(1)3093 4360 y Fp(\(\012)3194 4375 y Fh(\016)3232 4360 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))382 4495 y(as)f Fl(\033)k Fp(go)s(es)c(to)h(1,)i Fl(v)i Fk(2)39 b Fl(H)1308 4462 y Fi(1)1301 4520 y(0)1348 4495 y Fp(\(\012)1449 4510 y Fh(\016)1487 4495 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\).)68 b(Hence)40 b Fl(H)2080 4462 y Fi(1)2073 4520 y(0)2119 4495 y Fp(\(\012)2220 4510 y Fh(\016)2258 4495 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))g(is)e(the)h(k)m(ernel)g(of)h Fl(\015)3138 4514 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))3295 4495 y Fp(in)382 4631 y Fl(H)465 4598 y Fi(1)458 4658 y(0)p Fh(;)p Fi(\000)557 4667 y Fg(0)595 4631 y Fp(\(\012)696 4646 y Fh(\016)734 4631 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\).)382 4866 y Fe(Corollary)35 b(2)46 b Fc(If)33 b Fl(v)d Fk(2)d Fl(L)1265 4833 y Fi(2)1304 4866 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)1613 4833 y Fi(1)1606 4893 y(0)p Fh(;)p Fi(\000)1705 4902 y Fg(0)1745 4866 y Fp(\(\012)1846 4881 y Fh(\016)1883 4866 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\)\))35 b Fc(and)g Fl(\015)2316 4884 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2434 4866 y Fp(\()p Fl(v)s Fp(\))28 b(=)e(0)p Fc(,)34 b(for)g(a.e.)g Fl(t)p Fc(,)f(then)382 5001 y Fl(v)28 b Fk(2)d Fl(L)602 4968 y Fi(2)642 5001 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)951 4968 y Fi(1)944 5026 y(0)991 5001 y Fp(\(\012)1092 5016 y Fh(\016)1130 5001 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\)\))p Fc(,)34 b(and)f(the)g(c)-5 b(onverse)34 b(is)e(also)i(true.)523 5237 y Fp(W)-8 b(e)38 b(no)m(w)e(state)i(a)f(lemma)f(that)h(enables)e(to)i(extend)g(a)g (function)e Fe(v)i Fk(2)e Fl(V)3122 5252 y Fh(\016)3196 5237 y Fp(suc)m(h)382 5372 y(that)26 b Fl(\015)621 5390 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))740 5372 y Fp(\()p Fe(v)q Fp(\))g(=)f(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(b)p Fp(\))1267 5339 y Fh(T)1325 5372 y Fl(;)41 b(b)25 b Fk(2)g Fl(L)1603 5339 y Fi(2)1642 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Fe(v)26 b Fk(2)f Fl(L)2975 2386 y Fi(2)3015 2424 y Fp(\(\012)3116 2439 y Fh(\016)3154 2424 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))3292 2350 y Ff(\011)3345 2424 y Fp(,)382 2559 y(w)m(e)i(are)g(going)f(to)h(giv)m(e)g(a)g(w)m(eak)h(sense)e(to)h (the)g(normal)e(trace)j(on)e(the)h(mo)m(ving)f(b)s(ound-)382 2695 y(ary)k(.)382 2905 y Fe(Lemma)j(5)45 b Fc(F)-7 b(or)35 b(every)e Fl(t)p Fc(,)h(ther)-5 b(e)34 b(exists)g(a)g(line)-5 b(ar)35 b(c)-5 b(ontinuous)35 b(op)-5 b(er)g(ator)36 b Fl(\015)3041 2872 y Fh(n)3036 2937 y(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))3188 2905 y Fc(fr)-5 b(om)382 3041 y Fl(E)449 3059 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))600 3041 y Fc(to)33 b Fl(H)792 3008 y Ft(\000)p Fi(1)886 3041 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\))g Fc(such)g(that)547 3267 y Fl(\015)599 3230 y Fh(n)594 3294 y(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))712 3267 y Fp(\()p Fe(v)q Fp(\))27 b(=)e Fe(v)q Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g Fp(1)22 b(+)e Fl(\016)s Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\)\))23 b Fk(\001)d Fe(n)1950 3281 y Fh(t)1980 3267 y Fl(;)45 b Fk(8)p Fp(\()p Fl(x:y)s Fp(\))26 b Fk(2)f Fl(!)s(;)45 b Fk(8)p Fe(v)27 b Fk(2)e Fl(C)2829 3230 y Ft(1)2903 3267 y Fp(\()p 2938 3194 66 4 v(\012)3004 3282 y Fh(\016)3042 3267 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))p Fl(:)382 3494 y Fe(Pro)s(of)p Fp(:)382 3630 y(W)-8 b(e)34 b(follo)m(w)e(the)h (same)g(steps)g(as)g(for)g(the)g(standard)f(case.)49 b(The)33 b(k)m(ey)g(p)s(oin)m(ts)f(are)h(the)382 3765 y(Stok)m(es)e(form)m(ula:)880 3868 y Ff(Z)931 4075 y Fh(!)981 3992 y Fp(\()p Fe(v)22 b Fk(\001)f Fe(n)1197 4006 y Fh(t)1226 3992 y Fp(\))p Fl(\015)1308 4011 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1427 3992 y Fp(\()p Fl(w)r Fp(\))27 b(=)1687 3868 y Ff(Z)1737 4075 y Fi(\012)1788 4087 y Fd(\016)1822 4075 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1922 3992 y Fe(v)22 b Fk(\001)e(r)p Fl(w)j Fp(+)2298 3868 y Ff(Z)2349 4075 y Fi(\012)2400 4087 y Fd(\016)2434 4075 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2559 3992 y Fl(w)28 b Fp(div)14 b Fe(v)q Fl(;)404 4319 y Ff(\014)404 4373 y(\014)404 4428 y(\014)404 4482 y(\014)404 4537 y(\014)434 4354 y(Z)485 4560 y Fi(\012)536 4572 y Fd(\016)570 4560 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))609 4478 y Fe(v)22 b Fk(\001)e(r)p Fl(w)7 b Fp(+)955 4354 y Ff(Z)1006 4560 y Fi(\012)1057 4572 y Fd(\016)1091 4560 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1145 4478 y Fl(w)28 b Fp(div)14 b Fe(v)1433 4319 y Ff(\014)1433 4373 y(\014)1433 4428 y(\014)1433 4482 y(\014)1433 4537 y(\014)1489 4478 y Fk(\024)1585 4404 y Ff(\000)1627 4478 y Fk(k)p Fe(v)q Fk(k)1773 4497 y Fh(L)1821 4478 y Fg(2)1857 4497 y Fi(\(\012)1935 4509 y Fd(\016)1969 4497 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\)\))2101 4478 y Fp(+)20 b Fk(k)p Fp(div)15 b Fe(v)q Fk(k)2478 4497 y Fh(L)2526 4478 y Fg(2)2561 4497 y Fi(\(\012)2639 4509 y Fd(\016)2674 4497 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\)\))2786 4404 y Ff(\001)2843 4478 y Fk(k)p Fl(w)r Fk(k)3000 4497 y Fh(H)3063 4478 y Fg(1)3099 4497 y Fi(\(\012)3177 4509 y Fd(\016)3211 4497 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\)\))3323 4478 y Fl(;)382 4767 y Fp(and)32 b(the)h(fact)g(that)g(for)f(all)g Fl(\036)d Fk(2)f Fl(H)1625 4734 y Fi(1)1618 4791 y(0)1664 4767 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\))33 b(there)g(exists)f Fl(w)g Fk(2)c Fl(H)2584 4734 y Fi(1)2623 4767 y Fp(\(\012)2724 4782 y Fh(\016)2762 4767 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\),)34 b(de\014ned)e(b)m(y)382 4902 y(Lemma)e(4,)h(suc)m(h)f(that)h Fl(\015)1256 4921 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1375 4902 y Fp(\()p Fl(w)r Fp(\))26 b(=)f Fl(\036)p Fp(.)523 5038 y(No)m(w)39 b(w)m(e)f(giv)m(e)h(an)f(imp)s(ortan)m(t)f(lemma)g (that)i(justi\014es)d(Remark)j(1)f(and)f(Korn's)382 5173 y(inequalit)m(y)29 b(in)g(the)h(considered)f(spaces.)1831 5652 y(11)p eop %%Page: 12 12 12 11 bop 382 548 a Fe(Lemma)33 b(6)45 b Fc(F)-7 b(or)34 b(al)5 b(l)33 b Fe(u)g Fc(and)g Fe(v)h Fc(in)628 701 y Ff(\010)681 775 y Fe(v)27 b Fk(2)e Fl(V)902 790 y Fh(\016)940 775 y Fl(;)48 b Fk(9)15 b Fl(b)25 b Fk(2)f Fl(L)1290 737 y Fi(2)1330 775 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)1639 737 y Fi(1)1632 797 y(0)1679 775 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))p Fl(;)32 b(\015)1948 793 y Fh(\016)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2066 775 y Fp(\()p Fe(v)q Fp(\))27 b(=)e(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(b)p Fp(\))2594 737 y Fh(T)2677 775 y Fc(for)33 b(a.e.)f Fl(t)3031 701 y Ff(\011)3099 775 y Fl(;)382 1002 y Fc(we)h(have)888 1137 y Fp(2)948 1013 y Ff(Z)999 1220 y Fi(\012)1050 1232 y Fd(\016)1084 1220 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1184 1137 y Fl(D)s Fp(\()p Fe(u)p Fp(\))26 b(:)f Fl(D)s Fp(\()p Fe(v)q Fp(\))i(=)1793 1013 y Ff(Z)1843 1220 y Fi(\012)1894 1232 y Fd(\016)1928 1220 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2028 1137 y Fk(r)p Fe(u)e Fp(:)g Fk(r)p Fe(v)q Fl(;)81 b Fc(for)34 b(a.e.)41 b Fl(t;)345 b Fp(\(12\))382 1362 y Fc(and)33 b(c)-5 b(onse)g(quently)34 b(the)f(fol)5 b(lowing)34 b(Korn)-9 b('s)33 b(\\e)-5 b(quality")33 b(holds:)965 1509 y Fk(p)p 1040 1509 46 4 v 1040 1588 a Fp(2)q Fk(k)p Fl(D)s Fp(\()p Fe(u)p Fp(\))p Fk(k)1382 1608 y Fh(L)1430 1589 y Fg(2)1466 1608 y Fi(\(\012)1544 1622 y Fd(\016)r Fg(\()p Fd(t)p Fg(\))1650 1608 y Fi(\))1707 1588 y Fp(=)25 b Fk(kr)p Fe(u)p Fk(k)2027 1608 y Fh(L)2075 1589 y Fg(2)2110 1608 y Fi(\(\012)2188 1622 y Fd(\016)r Fg(\()p Fd(t)p Fg(\))2294 1608 y 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Fi(0)1655 2353 y Ff(Z)1705 2559 y Fh(!)1771 2476 y Fp(\001)p Fl(\021)1892 2490 y Fh(")1944 2476 y Fp(\001)p Fl(b)25 b Fp(=)2180 2353 y Ff(Z)2271 2379 y Fh(t)2230 2559 y Fi(0)2315 2353 y Ff(Z)2366 2559 y Fi(\012)2417 2576 y Fd(\021)2451 2559 y Fo(\003)2449 2590 y Fd(")2491 2559 y Fi(\()p Fh(s)p Fi(\))2598 2476 y Fe(f)30 b Fk(\001)20 b Fl(\036)2759 2490 y Fh(")2816 2476 y Fp(+)2907 2353 y Ff(Z)2998 2379 y Fh(t)2958 2559 y Fi(0)3043 2353 y Ff(Z)3093 2559 y Fh(!)3159 2476 y Fl(g)34 b(b;)906 2718 y Fk(8)p Fl(\036)1011 2732 y Fh(")1072 2718 y Fk(2)25 b Fl(V)1211 2732 y Fh(\021)1248 2713 y Fo(\003)1246 2748 y Fd(")1289 2718 y Fl(;)46 b(b)25 b Fk(2)g Fl(L)1572 2681 y Fi(2)1611 2718 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)1920 2681 y Fi(2)1913 2741 y(0)1961 2718 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))31 b(suc)m(h)f(that)835 2879 y Fl(\036)889 2893 y Fh(")926 2879 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g Fp(1)22 b(+)e Fl(\021)1420 2841 y Ft(\003)1417 2901 y Fh(")1459 2879 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\)\))27 b(=)e(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(b)p Fp(\()p Fl(t;)g(x;)g(y)s Fp(\)\))2462 2841 y Fh(T)2551 2879 y Fp(on)30 b Fl(!)s(:)447 b Fp(\(18\))382 3143 y(The)26 b(sup)s(erscript)e Fk(\003)j Fp(and)g Fk(R)1353 3157 y Fh(")1416 3143 y Fp(denote)g(regularization)f (op)s(erators)h(that)g(will)d(b)s(e)j(made)382 3278 y(precise)k(in)g (the)i(next)f(Section)g(3.1.)47 b(Th)m(us,)32 b Fk(R)1997 3292 y Fh(")2034 3278 y Fp(\()p 2069 3227 59 4 v Fe(u)2127 3292 y Fh(")2164 3278 y Fp(\))g(and)g Fl(\021)2458 3245 y Ft(\003)2455 3301 y Fh(")2530 3278 y Fp(are)h(regularizations)d(of)p 382 3362 V 382 3414 a Fe(u)440 3428 y Fh(")499 3414 y Fp(and)23 b Fl(\021)714 3428 y Fh(")750 3414 y Fp(,)i(where)p 1055 3362 V 22 w Fe(u)1113 3428 y Fh(")1173 3414 y Fp(is)d(the)h (extension)f(of)h Fe(u)1954 3428 y Fh(")2013 3414 y Fp(de\014ned)f(in)f (Lemma)i(3.)39 b(Note)24 b(that)f(the)382 3549 y(con)m(v)m(ection)g (terms)e(ha)m(v)m(e)h(b)s(een)f(rewritten)f(according)h(to)h(Remark)f (4.)39 b(A)21 b(consequence)382 3685 y(of)28 b(this)f(reform)m(ulation) g(is)g(that)h(the)g(solution)f(satis\014es)g(the)h(same)h(energy)f (estimates)382 3820 y(as)f(in)f(the)h(original)e(problem.)38 b(Indeed,)26 b(c)m(ho)s(osing)h(\()p Fe(u)2235 3834 y Fh(")2272 3820 y Fl(;)15 b(@)2360 3834 y Fh(t)2391 3820 y Fl(\021)2436 3834 y Fh(")2472 3820 y Fp(\))28 b(as)f(a)g(test)h (function,)e(w)m(e)382 3956 y(remark)k(that:)815 4059 y Ff(Z)865 4265 y Fi(\012)916 4282 y Fd(\021)950 4265 y Fo(\003)948 4296 y Fd(")990 4265 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1090 4183 y Fl(@)1138 4197 y Fh(t)1168 4183 y Fe(u)1226 4197 y Fh(")1283 4183 y Fk(\001)20 b Fe(u)1386 4197 y Fh(")1443 4183 y Fp(+)1544 4121 y(1)p 1544 4162 46 4 v 1544 4245 a(2)1615 4059 y Ff(Z)1665 4265 y Fh(!)1715 4183 y Fp(\()p Fl(@)1798 4197 y Fh(t)1829 4183 y Fl(\021)1874 4197 y Fh(")1911 4183 y Fp(\))1946 4145 y Fi(2)1985 4183 y Fl(@)2033 4197 y Fh(t)2063 4183 y Fl(\021)2111 4145 y Ft(\003)2108 4205 y Fh(")2176 4183 y Fp(=)2282 4121 y(1)p 2282 4162 V 2282 4245 a(2)2364 4121 y Fl(d)p 2348 4162 81 4 v 2348 4245 a(dt)2453 4059 y Ff(Z)2503 4265 y Fi(\012)2554 4282 y Fd(\021)2588 4265 y Fo(\003)2586 4296 y Fd(")2628 4265 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))2728 4183 y Fk(j)p Fe(u)2811 4197 y Fh(")2848 4183 y Fk(j)2873 4145 y Fi(2)2913 4183 y Fl(;)382 4464 y Fp(since)27 b(the)h(mo)m(ving)g(b)s(oundary)e(of)i(the) g(\015uid)e(domain)g(\012)2325 4478 y Fh(\021)2362 4459 y Fo(\003)2360 4494 y Fd(")2403 4464 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))i(mo)m(v)m(es)h(at)g(the)f(v)m(elo)s(cit)m(y)382 4600 y(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)635 4614 y Fh(t)667 4600 y Fl(\021)715 4567 y Ft(\003)712 4622 y Fh(")755 4600 y Fp(\))790 4567 y Fh(T)875 4600 y Fp(and)30 b Fe(u)1110 4614 y Fh(")1147 4600 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g Fp(1)22 b(+)e Fl(\021)1641 4567 y Ft(\003)1638 4622 y Fh(")1681 4600 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\)\))26 b(=)f(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)2374 4614 y Fh(t)2406 4600 y Fl(\021)2451 4614 y Fh(")2488 4600 y Fp(\()p Fl(t;)g(x;)g(y)s Fp(\)\))2806 4567 y Fh(T)2893 4600 y Fp(on)30 b Fl(!)s Fp(.)523 4735 y(Th)m(us)f(w)m(e)i(obtain:)465 4987 y Fk(k)p Fe(u)568 5001 y Fh(")605 4987 y Fk(k)650 5007 y Fh(L)698 4988 y Fo(1)764 5007 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(L)965 4988 y Fg(2)999 5007 y Fi(\(\012)1077 5024 y Fd(\021)1111 5007 y Fo(\003)1109 5038 y Fd(")1151 5007 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\)\)\))1311 4987 y Fp(+)20 b Fk(kr)p Fe(u)1581 5001 y Fh(")1618 4987 y Fk(k)1663 5007 y Fh(L)1711 4988 y Fg(2)1746 5007 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(L)1947 4988 y Fg(2)1981 5007 y Fi(\(\012)2059 5024 y Fd(\021)2093 5007 y Fo(\003)2091 5038 y Fd(")2134 5007 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\)\)\))1265 5166 y Fp(+)20 b Fk(k)p Fl(@)1449 5180 y Fh(t)1479 5166 y Fl(\021)1524 5180 y Fh(")1561 5166 y Fk(k)1606 5186 y Fh(L)1654 5167 y Fo(1)1720 5186 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(L)1921 5167 y Fg(2)1955 5186 y Fi(\()p Fh(!)r Fi(\)\))2108 5166 y Fp(+)20 b Fk(k)p Fp(\001)p Fl(\021)2365 5180 y Fh(")2402 5166 y Fk(k)2447 5186 y Fh(H)2510 5167 y Fg(1)2545 5186 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(L)2746 5167 y Fg(2)2780 5186 y Fi(\()p Fh(!)r Fi(\)\))2938 5166 y Fk(\024)25 b Fl(C)q(;)84 b Fp(\(19\))1831 5652 y(16)p eop %%Page: 17 17 17 16 bop 382 548 a Fp(where)34 b Fl(C)39 b(>)32 b Fp(0)j(dep)s(ends)e (only)h(on)h(the)g(data)g(and)f(not)h(on)g Fl(")p Fp(.)54 b(Applying)32 b(Lemma)j(7)382 683 y(leads)30 b(to)1365 819 y Fk(k)p Fe(u)1468 833 y Fh(")1505 819 y Fk(k)1550 839 y Fh(L)1598 820 y Fg(2)1633 839 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(H)1849 820 y Fg(1)1883 839 y Fi(\(\012)1961 856 y Fd(\021)1995 839 y Fo(\003)1993 870 y Fd(")2036 839 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\)\)\))2200 819 y Fk(\024)25 b Fl(C)q(;)822 b Fp(\(20\))382 1003 y(where)26 b Fl(C)33 b Fp(dep)s(ends)25 b(on)i(the)g(data)h(and)e(on)h(max)2032 1021 y Fi([0)p Fh(;T)10 b Fi(])p Ft(\002)p 2233 984 47 3 v Fh(!)2282 1003 y Fp(\(1)j(+)g Fl(\021)2507 970 y Ft(\003)2504 1025 y Fh(")2548 1003 y Fp(\).)39 b(But)28 b(from)e(\(19\))i(and)382 1138 y(since)i Fl(H)688 1105 y Fi(1)728 1138 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)1037 1105 y Fi(2)1030 1163 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f(in)h(sev)m(eral)i(steps.)37 b(In)20 b(a)h(\014rst)e(step,)k(w)m(e)d (linearize)f(the)i(w)m(eak)382 2967 y(form)m(ulation)e(and)h(pro)m(v)m (e)i(that)f(there)f(exists)h(a)f(unique)f(solution)g(to)i(this)f (regularized)f({)382 3102 y(linearized)k(problem)g(thanks)h(to)i(a)f (Galerkin)f(metho)s(d.)38 b(Then)24 b(additional)e(regularit)m(y)382 3238 y(is)j(deriv)m(ed)h(that)h(enables)f(us)g(to)h(apply)e(Sc)m (hauder)h(\014xed)g(p)s(oin)m(t)f(theorem)i(and)f(obtain)382 3373 y(the)k(existence)h(of)g(\()p Fe(u)1122 3387 y Fh(")1159 3373 y Fl(;)15 b(\021)1244 3387 y Fh(")1281 3373 y Fp(\).)382 3638 y Fm(3.1)112 b(Linearized)37 b(appro)m(ximate)g(problem)382 3832 y Fp(W)-8 b(e)41 b(start)g(b)m(y)f(linearizing)d(equation)j (\(18\).)72 b(Let)41 b(us)e(tak)m(e)j Fl(\016)j Fk(2)c Fl(H)2775 3799 y Fi(1)2815 3832 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(C)3113 3799 y Fi(0)3153 3832 y Fp(\()p 3188 3782 60 4 v Fl(!)s Fp(\))27 b Fk(\\)382 3968 y Fl(H)465 3935 y Fi(1)458 3992 y(0)504 3968 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))42 b(on)f Fl(@)5 b(!)s Fp(,)45 b Fl(\016)s Fk(j)1099 3982 y Fh(t)p Fi(=0)1263 3968 y Fp(=)e Fl(\021)1425 3935 y Fh(")1422 3992 y Fi(0)1503 3968 y Fp(and)e Fl(M)53 b Fk(\025)43 b Fp(1)28 b(+)f Fl(\016)s Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\))45 b Fk(\025)e Fl(\013)h(>)f Fp(0,)h Fk(8)p Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\))44 b Fk(2)382 4103 y Fp([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])25 b Fk(\002)p 703 4053 V 24 w Fl(!)s Fp(.)57 b(The)36 b(constan)m(t)h Fl(M)46 b Fp(will)34 b(b)s(e)h(c)m(hosen)i(later)f(and)f Fl(\013)i Fp(is)e(tak)m(en)i(suc)m(h)f(that)382 4239 y(min)p 533 4215 47 3 v 533 4252 a Fh(!)596 4239 y Fp(\(1)21 b(+)f Fl(\021)833 4253 y Fi(0)872 4239 y Fp(\))26 b Fk(\025)f Fp(2)p Fl(\013)h(>)f Fp(0.)41 b(W)-8 b(e)31 b(tak)m(e)h(also)f Fe(v)c Fk(2)e Fl(L)2131 4206 y Fi(2)2170 4239 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2458 4206 y Fi(2)2498 4239 y Fp(\()p Fl(B)2602 4253 y Fi(2)p Fh(M)2717 4239 y Fp(\)\).)523 4374 y(W)-8 b(e)36 b(consider)e Fl(\016)1086 4341 y Ft(\003)1083 4397 y Fh(")1159 4374 y Fp(=)e Fk(N)1337 4388 y Fh(")1373 4374 y Fp(\()p Fl(\016)s Fp(\))k(and)f Fe(v)1760 4341 y Ft(\003)1759 4397 y Fh(")1832 4374 y Fp(=)e Fk(R)2013 4388 y Fh(")2049 4374 y Fp(\()p Fe(v)q Fp(\))j(space{time)g (regularizations)d(of)382 4510 y Fl(\016)44 b Fp(and)39 b Fe(v)q Fp(.)70 b(W)-8 b(e)41 b(require)d(that)j Fk(N)1566 4524 y Fh(")1602 4510 y Fp(\()p Fl(\016)1677 4524 y Fh(")1714 4510 y Fp(\))g(con)m(v)m(erges)g(to)g Fl(\016)j Fp(in)38 b Fl(C)2598 4477 y Fi(0)2637 4510 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])28 b Fk(\002)p 2998 4460 60 4 v 26 w Fl(!)s Fp(\))40 b(when-)382 4645 y(ev)m(er)c Fl(\016)619 4659 y Fh(")692 4645 y Fp(con)m(v)m(erges)h(to)f Fl(\016)k Fp(in)34 b Fl(C)1483 4612 y Fi(0)1522 4645 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])25 b Fk(\002)p 1877 4595 V 23 w Fl(!)s Fp(\),)37 b(that)g Fl(@)2285 4659 y Fh(t)2314 4645 y Fk(N)2389 4659 y Fh(")2426 4645 y Fp(\()p Fl(\016)2501 4659 y Fh(")2538 4645 y Fp(\))f(con)m(v)m(erges)i(to)e Fl(@)3186 4659 y Fh(t)3216 4645 y Fl(\016)j Fp(in)382 4781 y Fl(L)444 4748 y Fi(2)483 4781 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)771 4748 y Fi(2)812 4781 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))35 b(whenev)m(er)e Fl(@)1462 4795 y Fh(t)1492 4781 y Fl(\016)1532 4795 y Fh(")1603 4781 y Fp(con)m(v)m(erges)j(to)f Fl(@)2177 4795 y Fh(t)2207 4781 y Fl(\016)i Fp(in)c Fl(L)2456 4748 y Fi(2)2495 4781 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2783 4748 y Fi(2)2824 4781 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))35 b(and)e(that)382 4916 y Fk(R)459 4930 y Fh(")496 4916 y Fp(\()p Fe(v)586 4930 y Fh(")623 4916 y Fp(\))f(con)m(v)m(erges)i(to) f Fe(v)h Fp(in)c Fl(L)1470 4883 y Fi(2)1510 4916 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)1798 4883 y Fi(2)1838 4916 y Fp(\()p Fl(B)1942 4930 y Fi(2)p Fh(M)2057 4916 y Fp(\)\))33 b(whenev)m(er)f Fe(v)2616 4930 y Fh(")2685 4916 y Fp(con)m(v)m(erges)i (to)e Fe(v)i Fp(in)382 5052 y Fl(L)444 5019 y Fi(2)483 5052 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)771 5019 y Fi(2)812 5052 y Fp(\()p Fl(B)916 5066 y Fi(2)p Fh(M)1030 5052 y Fp(\)\).)523 5187 y(W)-8 b(e)32 b(build)27 b Fk(N)987 5201 y Fh(")1023 5187 y Fp(\()p Fl(\016)s Fp(\))32 b(as)f(follo)m(ws:) 1338 5403 y Fk(N)1413 5417 y Fh(")1450 5403 y Fp(\()p Fl(\016)s Fp(\))c(=)e Fl(S)1742 5417 y Fh(")1778 5403 y Fp(\()p Fl(\016)f Fk(\000)c Fl(\016)s Fk(j)2036 5417 y Fh(t)p Fi(=0)2157 5403 y Fp(\))h(+)f Fl(\021)2352 5366 y Fh(")2349 5426 y Fi(0)2389 5403 y Fl(;)1831 5652 y Fp(17)p eop %%Page: 18 18 18 17 bop 382 548 a Fp(where)27 b Fl(S)698 562 y Fh(")762 548 y Fp(denotes)h(a)f(space{time)i(regularization)d(suc)m(h)h(that)h Fl(S)2648 562 y Fh(")2685 548 y Fp(\()p Fl(b)p Fp(\))p Fk(j)2819 562 y Fh(t)p Fi(=0)2965 548 y Fp(=)d(0)i(when-)382 683 y(ev)m(er)41 b Fl(b)p Fk(j)648 697 y Fh(t)p Fi(=0)809 683 y Fp(=)g(0.)70 b(In)40 b(particular)e Fk(N)1689 697 y Fh(")1725 683 y Fp(\()p Fl(\016)s Fp(\))p Fk(j)1863 697 y Fh(t)p Fi(=0)2026 683 y Fp(=)j Fl(\021)2186 650 y Fh(")2183 708 y Fi(0)2223 683 y Fp(.)70 b(W)-8 b(e)41 b(can)f(also)g(supp)s(ose)f(that)382 819 y(2)p Fl(M)d Fk(\025)25 b Fp(1)20 b(+)g Fl(\016)846 786 y 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Fk(\001)q(r)p Fp(\))p Fe(u)3214 2489 y Fh(")3253 2475 y Fk(\001)q Fl(\036)3333 2489 y Fh(")732 2760 y Fk(\000)833 2699 y Fp(1)p 833 2739 V 833 2822 a(2)904 2636 y Ff(Z)995 2663 y Fh(t)954 2843 y Fi(0)1039 2636 y Ff(Z)1090 2843 y Fi(\012)1141 2860 y Fd(\016)1171 2843 y Fo(\003)1169 2874 y Fd(")1211 2843 y Fi(\()p Fh(s)p Fi(\))1303 2760 y Fp(\()p Fe(v)1394 2723 y Ft(\003)1393 2783 y Fh(")1454 2760 y Fk(\001)c(r)p Fp(\))p Fl(\036)1665 2774 y Fh(")1722 2760 y Fk(\001)f Fe(u)1825 2774 y Fh(")1882 2760 y Fp(+)1983 2699 y(1)p 1983 2739 V 1983 2822 a(2)2054 2636 y Ff(Z)2145 2663 y Fh(t)2104 2843 y Fi(0)2189 2636 y Ff(Z)2240 2843 y Fh(!)2306 2760 y Fl(@)2354 2774 y Fh(t)2383 2760 y Fl(\021)2428 2774 y Fh(")2465 2760 y Fl(@)2513 2774 y Fh(t)2543 2760 y Fl(\016)2586 2723 y Ft(\003)2583 2783 y Fh(")2627 2760 y Fl(b)g Fp(+)2777 2636 y Ff(Z)2868 2663 y Fh(t)2827 2843 y Fi(0)2912 2636 y Ff(Z)2963 2843 y Fh(!)3028 2760 y Fl(@)3076 2774 y Fh(tt)3132 2760 y Fl(\021)3177 2774 y Fh(")3229 2760 y Fl(b)702 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y(0)2155 3287 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))31 b(s.)40 b(t.)840 3448 y Fl(\036)894 3462 y Fh(")930 3448 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g Fp(1)22 b(+)e Fl(\016)1419 3410 y Ft(\003)1416 3470 y Fh(")1459 3448 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\)\))27 b(=)e(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(b)p Fp(\()p Fl(t;)g(x;)g(y)s Fp(\)\))2462 3410 y Fh(T)2551 3448 y Fp(on)30 b Fl(!)s(;)447 b Fp(\(21\))518 3703 y({)46 b Fe(u)667 3717 y Fh(")704 3703 y Fp(\(0\))26 b(=)f Fe(u)999 3670 y Fh(")999 3727 y Fi(0)1039 3703 y Fp(,)30 b Fl(\021)1139 3717 y Fh(")1176 3703 y Fp(\(0\))d(=)e Fl(\021)1462 3670 y Fh(")1459 3727 y Fi(0)1529 3703 y Fp(and)30 b Fl(@)1754 3717 y Fh(t)1784 3703 y Fl(\021)1829 3717 y Fh(")1866 3703 y Fp(\(0\))c(=)f Fl(\021)2151 3670 y Fh(")2148 3727 y Fi(1)2188 3703 y Fp(.)382 3930 y(In)k(this)f(problem)g(the)h(test)i(functions)d(do)h (not)h(dep)s(end)d(on)j(the)f(solution.)39 b(As)30 b(previ-)382 4066 y(ously)-8 b(,)30 b(an)m(y)h(solution)e(of)h(\(21\))i(satis\014es) e(energy)h(estimates)g(indep)s(enden)m(t)d(of)i Fl(")p Fp(.)382 4327 y Fe(3.1.1)105 b(Existence)35 b(of)g(solution:)48 b(Galerkin)35 b(metho)s(d)382 4521 y Fp(W)-8 b(e)33 b(are)f(going)g(to) g(discretize)f(this)g(problem)f(using)g(a)i(Galerkin)f(metho)s(d.)44 b(First)31 b(w)m(e)382 4657 y(rewrite)j(the)i(equations)f(in)f(a)i (\\reference")h(con\014guration)d(thanks)h(to)h(a)g(c)m(hange)g(of)382 4792 y(v)-5 b(ariables,)35 b(denoted)g(b)m(y)f Fl(\037)1325 4806 y Fh(")1362 4792 y Fp(.)54 b(The)34 b(reference)h(con\014guration) g(is)e(the)i(sub)s(domain)d(of)382 4928 y Fj(R)442 4895 y Fi(3)517 4928 y Fp(giv)m(en)f(b)m(y)f Fl(!)23 b Fk(\002)d Fp(\(0)p Fl(;)15 b Fp(1\))32 b(and)e(will)e(b)s(e)h(denoted)i(b)m(y)f Fk(C)5 b Fp(.)41 b(W)-8 b(e)32 b(de\014ne)d Fl(\037)2821 4942 y Fh(")2888 4928 y Fp(b)m(y)722 5268 y Fl(\037)779 5282 y Fh(")815 5268 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g(z)t Fp(\))27 b(=)1307 5055 y Ff(\014)1307 5109 y(\014)1307 5164 y(\014)1307 5218 y(\014)1307 5273 y(\014)1307 5327 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Fk(k)2353 4903 y Fh(L)2401 4884 y Fg(2)2438 4903 y Fi(\(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(\))p Ft(\002)p Fh(!)r Fi(\))2758 4883 y Fl(;)2097 5054 y Fk(k)p Fl(\021)2187 5068 y Fi(0)2227 5054 y Fk(k)2272 5078 y Fh(H)2335 5055 y Fg(2)2330 5099 y(0)2371 5078 y Fi(\()p Fh(!)r Fi(\))2476 5054 y Fl(;)15 b Fk(k)p Fl(\021)2606 5068 y Fi(1)2646 5054 y Fk(k)2691 5074 y Fh(L)2739 5055 y Fg(2)2774 5074 y Fi(\()p Fh(!)r Fi(\))2880 5054 y Fp(\))p Fl(:)269 b Fp(\(27\))382 5250 y Fc(These)25 b(estimates)i(ar)-5 b(e)26 b(obtaine)-5 b(d)27 b(in)e(the)g(same)h(way)h(as)e(in)h(Se)-5 b(ction)25 b(1.2.)40 b(This)26 b(r)-5 b(emark)382 5385 y(wil)5 b(l)33 b(b)-5 b(e)32 b(useful)h(to)g(p)-5 b(ass)34 b(to)f(the)g(limit)g(as)g Fl(")g Fc(go)-5 b(es)33 b(to)h(zer)-5 b(o.)1831 5652 y Fp(21)p eop %%Page: 22 22 22 21 bop 382 548 a Fe(3.1.3)105 b(Additional)35 b(estimates)382 742 y Fp(Here)e(w)m(e)f(w)m(an)m(t)h(to)g(deriv)m(e)f(additional)e (estimates)j(on)f(the)g(solution)f(and)h(more)g(pre-)382 878 y(cisely)39 b(w)m(e)h(are)h(going)f(to)g(pro)m(v)m(e)h(that)g Fl(@)1824 892 y Fh(t)1854 878 y Fe(u)p 1854 893 59 4 v -45 x Fh(m;n)1912 889 y(")2081 878 y Fp(and)e Fl(@)2315 892 y Fh(tt)2370 878 y Fl(\021)2418 845 y Fh(n)2415 900 y(")2506 878 y Fp(are)h(b)s(ounded)e(with)g(re-)382 1013 y(sp)s(ect)43 b(to)h(the)g(data)g(and)f Fl(")p Fp(,)k(but)42 b(indep)s(enden)m(tly)f(of)i(\()p Fl(m;)15 b(n)p Fp(\),)47 b(in)42 b Fl(L)2843 980 y Fi(2)2883 1013 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)3171 980 y Fi(2)3211 1013 y Fp(\()p Fk(C)5 b Fp(\)\))382 1149 y(and)36 b Fl(L)627 1116 y Fi(2)666 1149 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)954 1116 y Fi(2)995 1149 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))37 b(resp)s(ectiv)m(ely) -8 b(.)58 b(These)36 b(estimates)h(will,)e(in)g(particular,)h(yield)382 1284 y(enough)21 b(compactness)h(to)g(apply)d(a)j(\014xed)e(p)s(oin)m (t)g(pro)s(cedure)g(and)h(pro)m(v)m(e)h(the)f(existence)382 1420 y(of)30 b(a)h(solution)e(to)i(the)g(appro)m(ximate)f(problem)f (\(18\).)382 1655 y Fe(Lemma)k(8)45 b 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Fh(")2918 1496 y Fp(\))37 b Fk(\025)f Fl(\013)i(>)e Fp(0.)382 1632 y(Consequen)m(tly)30 b Fl(F)1004 1646 y Fh(")1041 1632 y Fp(\()p Fl(B)1150 1588 y Fh(\013;")1145 1660 y(M)1251 1632 y Fp(\))c Fk(\032)f Fl(B)1482 1588 y Fh(\013;")1477 1660 y(M)1583 1632 y Fp(.)523 1903 y(The)39 b(second)h(p)s(oin)m(t)f (to)i(v)m(erify)e(is)g(that)h Fl(F)2017 1917 y Fh(")2055 1903 y Fp(\()p Fl(B)2159 1917 y Fh(M)2238 1867 y(\013;")2340 1903 y Fp(\))g(is)f(relativ)m(ely)g(compact)i(in)382 2038 y Fl(Y)20 b Fp(.)41 b(Let)31 b(us)f(consider)f(a)i(sequence)g(\()p Fl(\016)1683 2052 y Fh(n)1731 2038 y Fl(;)15 b Fe(v)1826 2052 y Fh(n)1873 2038 y Fp(\))1908 2052 y Fh(n)p Ft(2)p Fb(N)2081 2038 y Fp(in)30 b Fl(B)2257 2052 y Fh(M)2335 2003 y(\013;")2437 2038 y Fp(,)h(and)f(denote)h(\()p Fl(\021)3046 2005 y Fh(n)3043 2061 y(")3094 2038 y Fl(;)15 b Fe(u)3192 2005 y Fh(n)3192 2061 y(")3239 2038 y Fp(\))26 b(=)382 2174 y Fl(F)440 2188 y Fh(")477 2174 y Fp(\()p Fl(\016)552 2188 y Fh(n)600 2174 y Fl(;)15 b Fe(v)695 2188 y Fh(n)742 2174 y Fp(\).)39 b(Thanks)22 b(to)i(estimates)g(\(28,)i (29\),)h Fl(@)2058 2188 y Fh(t)2088 2174 y Fl(\021)2136 2141 y Fh(n)2133 2196 y(")2206 2174 y Fp(is)c(b)s(ounded)e(in)h Fl(L)2816 2141 y Fi(2)2855 2174 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)3164 2141 y Fi(2)3157 2198 y(0)3205 2174 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))382 2309 y(and)46 b Fl(@)623 2323 y Fh(tt)678 2309 y Fl(\021)726 2276 y Fh(n)723 2332 y(")819 2309 y Fp(is)g(b)s(ounded)e(in)h Fl(L)1498 2276 y Fi(2)1537 2309 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)1825 2276 y Fi(2)1866 2309 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))47 b(indep)s(enden)m (tly)c(of)j Fl(n)p Fp(.)88 b(Th)m(us,)49 b(ap-)382 2445 y(plying)33 b(Aubin's)h(lemma)h(and)g(the)h(fact)h(that)f Fl(H)2116 2412 y Fi(2)2109 2469 y(0)2155 2445 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\))h(is)d(compactly)i(em)m(b)s(edded)f(in)382 2580 y Fl(H)465 2547 y Fi(1)458 2605 y(0)504 2580 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\))25 b Fk(\\)f Fl(C)816 2547 y Fi(0)855 2580 y Fp(\()p 890 2530 60 4 v Fl(!)t Fp(\))37 b(\(since)f Fl(!)j Fk(\032)d Fj(R)1549 2547 y Fi(2)1595 2580 y Fp(\),)j(w)m(e)e (obtain)f(that)h Fl(@)2374 2594 y Fh(t)2404 2580 y Fl(\021)2452 2547 y Fh(n)2449 2603 y(")2536 2580 y Fp(is)f(relativ)m(ely)g(compact) 382 2716 y(in)27 b Fl(L)548 2683 y Fi(2)588 2716 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)897 2683 y Fi(1)890 2740 y(0)937 2716 y Fp(\(\012\))j Fk(\\)f Fl(C)1241 2683 y Fi(0)1279 2716 y Fp(\()p 1314 2666 V Fl(!)t Fp(\)\).)40 b(Concerning)28 b(the)h(\015uid)d(v)m(elo)s(cit)m(y)-8 b(,)31 b Fe(u)p 2702 2731 59 4 v -33 x Fh(n)2760 2738 y(")2835 2716 y Fp(is)d(b)s(ounded)f(in)382 2851 y Fl(L)444 2818 y Fi(2)483 2851 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)792 2818 y Fi(1)833 2851 y Fp(\()p Fk(C)5 b Fp(\)\))31 b(and)f Fl(@)1247 2865 y Fh(t)1277 2851 y Fe(u)p 1277 2866 V -33 x Fh(n)1335 2874 y(")1412 2851 y Fp(is)f(b)s(ounded)f(in)h Fl(L)2042 2818 y Fi(2)2081 2851 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2369 2818 y Fi(2)2410 2851 y Fp(\()p Fk(C)5 b Fp(\)\))31 b(indep)s(enden)m(tly)d(of)i Fl(n)p Fp(.)382 2987 y(Consequen)m(tly)g Fe(u)p 946 3002 V -33 x Fh(n)1004 3009 y(")1081 2987 y Fp(is)f(relativ)m(ely)h(compact)i(in)d Fl(L)2101 2954 y Fi(2)2140 2987 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2428 2954 y Fi(2)2469 2987 y Fp(\()p Fk(C)5 b Fp(\)\).)523 3122 y(Th)m(us,)24 b Fl(\032)820 3089 y Fh(n)820 3145 y(")867 3122 y Fe(u)925 3089 y Fh(n)925 3145 y(")996 3122 y Fp(is)f(relativ)m(ely)h(compact)h(in)d Fl(L)1990 3089 y Fi(2)2030 3122 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2318 3089 y Fi(2)2358 3122 y Fp(\()p Fl(B)2462 3136 y Fi(2)p Fh(M)2577 3122 y Fp(\)\),)26 b(where)d Fl(\032)3001 3089 y Fh(n)3001 3145 y(")3072 3122 y Fp(denotes)382 3258 y(the)35 b(c)m(haracteristic)g(function)f(of)g(\012)1640 3273 y Fh(\016)1673 3254 y Fo(\003)1671 3289 y Fd(n;")1766 3258 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\).)54 b(Indeed,)35 b(denoting)f(b)m(y)h Fe(u)p 2783 3273 V 22 x Fh(")2913 3258 y Fp(the)f(limit)f(in)382 3393 y Fl(L)444 3360 y Fi(2)483 3393 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)771 3360 y Fi(2)812 3393 y Fp(\()p Fk(C)5 b Fp(\)\))31 b(of)g(a)g(subsequence)e(of)i(\()p Fe(u)p 1833 3408 V -33 x Fh(n)1891 3416 y(")1938 3393 y Fp(\))1973 3407 y Fh(n)p Ft(2)p Fb(N)2146 3393 y Fp(then)f(it)g(is)f (clear)i(that)579 3585 y Fk(k)p Fl(\032)671 3548 y Fh(n)671 3608 y(")718 3585 y Fe(u)776 3548 y Fh(n)776 3608 y(")843 3585 y Fk(\000)20 b Fl(\032)981 3548 y Fh(n)981 3608 y(")1028 3585 y Fe(u)p 1028 3600 V 23 x Fh(")1143 3585 y Fk(\016)h Fp(\()p Fl(\037)1301 3548 y Fh(n)1301 3608 y(")1348 3585 y Fp(\))1383 3548 y Ft(\000)p Fi(1)1478 3585 y Fk(k)1523 3605 y Fh(L)1571 3586 y Fg(2)1606 3605 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(L)1807 3586 y Fg(2)1841 3605 y Fi(\()p Fh(B)1921 3616 y Fg(2)p Fd(M)2020 3605 y Fi(\)\))2104 3585 y Fk(\024)25 b Fl(C)2265 3599 y Fh(")2302 3585 y Fk(k)p Fe(u)p 2347 3600 V -37 x Fh(n)2405 3608 y(")2472 3585 y Fk(\000)20 b Fe(u)p 2563 3600 V 23 x Fh(")2658 3585 y Fk(k)2703 3605 y Fh(L)2751 3586 y Fg(2)2786 3605 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(L)2987 3586 y Fg(2)3021 3605 y Fi(\()p Ft(C)t Fi(\)\))3149 3585 y Fl(;)382 3777 y Fp(where)35 b Fl(\037)707 3744 y Fh(n)707 3800 y(")789 3777 y Fp(is)f(a)h(\015o)m(w)h(asso)s(ciated)f(with)f Fk(N)1884 3791 y Fh(")1920 3777 y Fp(\()p Fl(\016)1995 3791 y Fh(n)2043 3777 y Fp(\))g(=)f Fl(\016)2259 3744 y Ft(\003)2256 3800 y Fh(n;")2390 3777 y Fp(\(see)j(the)g(construction) f(in-)382 3913 y(tro)s(duced)30 b(at)i(the)g(b)s(eginning)c(of)k (Section)f(3.1.1\).)46 b(Since)30 b(\()p Fl(\016)2479 3927 y Fh(n)2527 3913 y Fl(;)15 b Fe(v)2622 3927 y Fh(n)2669 3913 y Fp(\))27 b Fk(2)g Fl(B)2893 3868 y Fh(\013;")2888 3941 y(M)2994 3913 y Fp(,)32 b(a)f(subse-)382 4048 y(quence)f(of)g(\()p Fl(\016)860 4062 y Fh(n)907 4048 y Fp(\))942 4062 y Fh(n)p Ft(2)p Fb(N)1085 4048 y Fp(,)g(whic)m(h)e(will)f(b)s(e)j(still)d (denoted)j(b)m(y)g(\()p Fl(\016)2414 4062 y Fh(n)2461 4048 y Fp(\))2496 4062 y Fh(n)p Ft(2)p Fb(N)2639 4048 y Fp(,)g(con)m(v)m(erges)h(w)m(eakly)382 4184 y(in)26 b Fl(H)568 4151 y Fi(1)607 4184 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)916 4151 y Fi(1)957 4184 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\).)40 b(W)-8 b(e)29 b(denote)e(b)m(y)g Fl(\016)k Fp(this)26 b(limit)f(and)h(b)m(y)h Fl(\037)2565 4198 y Fh(")2629 4184 y Fp(the)g(\015o)m(w)g(asso)s(ciated)382 4319 y(with)k Fl(\016)634 4286 y Ft(\003)631 4342 y Fh(")675 4319 y Fp(.)47 b(But)33 b Fl(\032)977 4286 y Fh(n)977 4342 y(")1024 4319 y Fe(u)p 1024 4334 V 22 x Fh(")1141 4319 y Fk(\016)22 b Fp(\()p Fl(\037)1300 4286 y Fh(n)1300 4342 y(")1347 4319 y Fp(\))1382 4286 y Ft(\000)p Fi(1)1506 4319 y Fp(=)29 b(\()p Fl(\032)1688 4286 y Fh(")1688 4343 y Fi(0)1727 4319 y Fe(u)p 1727 4334 V 1786 4341 a Fh(")1822 4319 y Fp(\))22 b Fk(\016)h Fp(\()p Fl(\037)2039 4286 y Fh(n)2039 4342 y(")2086 4319 y Fp(\))2121 4286 y Ft(\000)p Fi(1)2248 4319 y Fp(con)m(v)m(erges)35 b(to)e(\()p Fl(\032)2853 4286 y Fh(")2853 4343 y Fi(0)2893 4319 y Fe(u)p 2893 4334 V 22 x Fh(")2988 4319 y Fp(\))22 b Fk(\016)g Fp(\()p Fl(\037)3204 4333 y Fh(")3241 4319 y Fp(\))3276 4286 y Ft(\000)p Fi(1)382 4455 y Fp(as)30 b Fl(n)f Fp(go)s(es)h(to)g(+)p Fk(1)f Fp(since)g Fl(\037)1356 4422 y Fh(n)1356 4477 y(")1432 4455 y Fp(con)m(v)m(erges)i(to)f Fl(\037)2005 4469 y Fh(")2071 4455 y Fp(in)f Fl(C)2249 4422 y Fi(1)2287 4455 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])20 b Fk(\002)p 2632 4382 54 4 v 18 w(C)5 b Fp(\))30 b(and)f Fl(\037)2983 4422 y Fh(n)2983 4477 y(")3048 4455 y Fk(\016)19 b Fp(\()p Fl(\037)3204 4469 y Fh(")3241 4455 y Fp(\))3276 4422 y Ft(\000)p Fi(1)382 4590 y Fp(con)m(v)m(erges)33 b(to)g(the)e(iden)m (tit)m(y)g(in)f Fl(C)1576 4557 y Fi(1)1647 4590 y Fp(as)i Fl(n)f Fp(go)s(es)h(to)g(+)p Fk(1)p Fp(.)44 b(Finally)-8 b(,)30 b(since)h Fl(@)2990 4604 y Fh(t)3020 4590 y Fl(\021)3068 4557 y Fh(n)3065 4613 y(")3147 4590 y Fp(is)f(rel-)382 4726 y(ativ)m(ely)g(compact)i(in)d Fl(L)1209 4693 y Fi(2)1249 4726 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)1558 4693 y Fi(1)1551 4750 y(0)1598 4726 y Fp(\(\012\))21 b Fk(\\)f Fl(C)1908 4693 y Fi(0)1947 4726 y Fp(\()p 1982 4676 60 4 v Fl(!)s Fp(\)\))31 b(and)f Fl(\032)2367 4693 y Fh(n)2367 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Fh(n)1749 2660 y(")1814 2638 y Fp(\001)p Fl(b)25 b Fp(=)2050 2514 y Ff(Z)2141 2540 y Fh(t)2100 2720 y Fi(0)2186 2514 y Ff(Z)2236 2720 y Fi(\012)2287 2737 y Fd(\016)2317 2720 y Fo(\003)2315 2751 y Fd(n;")2410 2720 y Fi(\()p Fh(s)p Fi(\))2517 2638 y Fe(f)30 b Fk(\001)20 b Fl(\036)2678 2600 y Fh(n)2678 2660 y(")2746 2638 y Fp(+)2837 2514 y Ff(Z)2928 2540 y Fh(t)2887 2720 y Fi(0)2972 2514 y Ff(Z)3023 2720 y Fh(!)3088 2638 y Fl(g)34 b(b;)958 2889 y Fk(8)p Fl(\036)1063 2852 y Fh(n)1063 2912 y(")1135 2889 y Fk(2)25 b Fl(V)1274 2904 y Fh(\016)1307 2885 y Fo(\003)1305 2921 y Fd(n;")1400 2889 y Fl(;)46 b(b)25 b Fk(2)g Fl(L)1683 2852 y Fi(2)1722 2889 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)2031 2852 y Fi(2)2024 2912 y(0)2072 2889 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))31 b(s.)41 b(t.)945 3058 y Fl(\036)999 3072 y Fh(")1036 3058 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g Fp(1)22 b(+)d Fl(\016)1524 3021 y Ft(\003)1521 3081 y Fh(n;")1621 3058 y Fp(\()p Fl(t;)c(x;)g(y)s Fp(\)\))27 b(=)e(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(b)p 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b(W)-8 b(e)30 b(set)g Fl(B)f Fp(=)c Fl(B)1757 3134 y Fh(M)1865 3120 y Fp(and)k Fl(B)2115 3087 y Ft(0)2163 3120 y Fp(=)c Fl(B)2328 3134 y Fi(2)p Fh(M)2442 3120 y Fp(.)41 b(The)28 b(solution)g(w)m(e)i(build)382 3256 y(v)m(eri\014es)g(estimates)h(\(19\))h(and)d(\(20\).)43 b(Moreo)m(v)m(er)1149 3471 y Fk(k)p 1194 3419 V Fe(u)1253 3485 y Fh(")1290 3471 y Fk(k)1335 3490 y Fh(L)1383 3472 y Fg(2)1418 3490 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(H)1634 3472 y Fg(1)1668 3490 y Fi(\()p Fh(B)1751 3472 y Fo(0)1775 3490 y Fi(\)\))p Ft(\\)p Fh(L)1924 3472 y Fo(1)1990 3490 y Fi(\(0)p Fh(;T)g Fi(;)p Fh(L)2191 3472 y Fg(2)2225 3490 y Fi(\()p Fh(B)2308 3472 y Fo(0)2331 3490 y Fi(\)\))2416 3471 y Fk(\024)24 b Fl(C)q(:)607 b Fp(\(30\))382 3686 y(But)43 b(these)g(estimates)g(are)g(not)g(su\016cien)m(t)f(to)i (obtain)e(the)h(desired)e(con)m(v)m(ergence.)382 3821 y(Giv)m(en)34 b(an)m(y)g Fl(h)d(>)g Fp(0,)k(w)m(e)g(denote)f Fl(g)1594 3788 y Ft(\000)1654 3821 y Fp(\()p Fl(t;)15 b Fk(\001)p Fp(\))32 b(=)f Fl(g)s Fp(\()p Fl(t)23 b Fk(\000)f Fl(h;)15 b Fk(\001)p Fp(\))36 b(and)d Fl(g)2600 3788 y Fi(+)2659 3821 y Fp(\()p Fl(t;)15 b Fk(\001)p Fp(\))33 b(=)d Fl(g)s Fp(\()p Fl(t)24 b Fp(+)e Fl(h;)15 b Fk(\001)p Fp(\).)382 3957 y(W)-8 b(e)31 b(state)h(the)f(follo)m(wing)e(lemma:)382 4157 y Fe(Lemma)k(9)45 b Fc(L)-5 b(et)37 b Fl(T)46 b(>)32 b Fp(0)37 b Fc(such)g(that)h Fp(min)1848 4175 y Fi([0)p Fh(;T)10 b Fi(])p Ft(\002)p 2049 4138 47 3 v Fh(!)2110 4157 y Fp(\(1)24 b(+)e Fl(\021)2352 4171 y Fh(")2389 4157 y Fp(\))33 b Fk(\025)g Fl(\013)g(>)f Fp(0)p Fc(.)55 b(Then)37 b(for)g(al)5 b(l)382 4292 y Fl(h)26 b(>)e Fp(0)33 b Fc(smal)5 b(l)34 b(enough,)f(we)g(have)830 4417 y Ff(Z)921 4443 y Fh(T)881 4623 y Fi(0)991 4417 y Ff(Z)1042 4623 y Fh(B)1098 4604 y Fo(0)1140 4541 y Fl(\032)1187 4555 y Fh(")1224 4541 y Fk(j)p 1249 4489 59 4 v Fe(u)1307 4555 y Fh(")1364 4541 y Fk(\000)p 1455 4489 V 20 w Fe(u)1513 4503 y Ft(\000)1513 4563 y Fh(")1572 4541 y Fk(j)1597 4503 y Fi(2)1657 4541 y Fp(+)1748 4417 y Ff(Z)1839 4443 y Fh(T)1798 4623 y Fi(0)1909 4417 y Ff(Z)1959 4623 y Fh(!)2010 4541 y Fp(\()p Fl(@)2093 4555 y Fh(t)2123 4541 y Fl(\021)2168 4555 y Fh(")2225 4541 y Fk(\000)20 b Fl(@)2364 4555 y Fh(t)2394 4541 y Fl(\021)2442 4503 y Ft(\000)2439 4563 y Fh(")2501 4541 y Fp(\))2536 4503 y Fi(2)2602 4541 y Fk(\024)k Fl(C)2769 4459 y Fk(p)p 2845 4459 53 4 v 82 x Fl(h;)287 b Fp(\(31\))382 4774 y Fc(and)1247 4801 y Ff(Z)1338 4828 y Fh(T)1297 5008 y Fi(0)1408 4801 y Ff(Z)1459 5008 y Fh(B)1515 4989 y Fo(0)1557 4925 y Fk(j)p Fl(\032)1629 4939 y Fh(")p 1666 4874 59 4 v 1666 4925 a Fe(u)1724 4939 y Fh(")1781 4925 y Fk(\000)20 b Fl(\032)1919 4888 y Ft(\000)1919 4948 y Fh(")p 1978 4874 V 1978 4925 a Fe(u)2036 4888 y Ft(\000)2036 4948 y Fh(")2095 4925 y Fk(j)2120 4888 y Fi(2)2185 4925 y Fk(\024)25 b Fl(C)2353 4843 y Fk(p)p 2428 4843 53 4 v 2428 4925 a Fl(h;)704 b Fp(\(32\))382 5132 y Fc(with)31 b Fl(\021)622 5146 y Fh(")689 5132 y Fc(extende)-5 b(d)32 b(by)e Fl(\021)1221 5099 y Fh(")1218 5156 y Fi(0)1289 5132 y Fc(for)h Fl(t)25 b(<)g Fp(0)30 b Fc(\(henc)-5 b(e)31 b Fl(@)1995 5146 y Fh(t)2025 5132 y Fl(\021)2070 5146 y Fh(")2137 5132 y Fc(extende)-5 b(d)32 b(by)e Fp(0)p Fc(\))h(and)p 2908 5081 59 4 v 31 w Fe(u)2966 5146 y Fh(")3033 5132 y Fc(extende)-5 b(d)382 5268 y(by)36 b Fp(0)g Fc(for)h Fl(t)31 b(<)h Fp(0)p Fc(,)37 b(and)g(wher)-5 b(e)37 b Fl(\032)1498 5282 y Fh(")1571 5268 y Fc(denotes)g(the)f(char)-5 b(acteristic)38 b(function)e(of)h Fp(\012)3162 5282 y Fh(\021)3199 5262 y Fo(\003)3197 5298 y Fd(")3239 5268 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))p Fc(.)382 5403 y(The)c(c)-5 b(onstant)34 b Fl(C)39 b Fc(do)-5 b(es)34 b(not)f(dep)-5 b(end)34 b(on)f Fl(")p Fc(.)1831 5652 y Fp(26)p eop %%Page: 27 27 27 26 bop 382 548 a Fe(Pro)s(of)p Fp(:)382 683 y(W)-8 b(e)31 b(\014rst)f(sho)m(w)g(that)h(\(31\))h(implies)c(\(32\).)42 b(Indeed:)826 910 y Fk(j)p Fl(\032)898 924 y Fh(")p 935 859 59 4 v 935 910 a Fe(u)993 924 y Fh(")1050 910 y Fk(\000)20 b Fl(\032)1188 873 y Ft(\000)1188 933 y Fh(")p 1247 859 V 1247 910 a Fe(u)1305 873 y Ft(\000)1305 933 y Fh(")1364 910 y Fk(j)1389 873 y Fi(2)1454 910 y Fk(\024)25 b Fl(C)1637 837 y Ff(\000)1678 910 y Fl(\032)1725 924 y Fh(")1762 910 y Fk(j)p 1787 859 V Fe(u)1845 924 y Fh(")1902 910 y Fk(\000)p 1993 859 V 20 w Fe(u)2051 873 y Ft(\000)2051 933 y Fh(")2110 910 y Fk(j)2135 873 y Fi(2)2195 910 y Fp(+)20 b Fk(j)p Fl(\032)2358 924 y Fh(")2415 910 y Fk(\000)g Fl(\032)2553 873 y Ft(\000)2553 933 y Fh(")2612 910 y Fk(jj)p 2662 859 V Fe(u)2721 873 y Ft(\000)2721 933 y Fh(")2780 910 y Fk(j)2805 873 y Fi(2)2845 837 y Ff(\001)2901 910 y Fl(:)382 1137 y Fp(The)44 b(estimate)g(of)h(the)f(\014rst)f(con)m (tribution)g(comes)i(from)f(\(31\).)83 b(F)-8 b(or)45 b(the)g(second)382 1273 y(con)m(tribution)29 b(w)m(e)i(ha)m(v)m(e)773 1383 y Ff(\014)773 1438 y(\014)773 1492 y(\014)773 1547 y(\014)803 1391 y(Z)894 1418 y Fh(T)853 1597 y Fi(0)964 1391 y Ff(Z)1015 1597 y Fh(B)1071 1579 y Fo(0)1113 1515 y Fk(j)p Fl(\032)1185 1529 y Fh(")1242 1515 y Fk(\000)20 b Fl(\032)1380 1477 y 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Ff(\023)1786 1633 y Fg(1)p 1786 1645 31 3 v 1786 1687 a(4)1845 1649 y Ff(\022)1912 1653 y(Z)2003 1680 y Fh(T)1963 1860 y Fi(0)2073 1777 y Fk(k)p 2118 1726 59 4 v Fe(u)2177 1791 y Fh(")2214 1777 y Fk(k)2269 1693 y Fg(8)p 2269 1705 31 3 v 2269 1746 a(3)2259 1811 y Fh(L)2307 1793 y Fg(4)2342 1811 y Fi(\()p Fh(B)2425 1793 y Fo(0)2448 1811 y Fi(\))2480 1649 y Ff(\023)2557 1633 y Fg(3)p 2557 1645 V 2557 1687 a(4)2616 1777 y Fl(:)382 2039 y Fp(Since)p 626 1988 59 4 v 36 w Fe(u)684 2053 y Fh(")757 2039 y Fp(is)36 b(b)s(ounded)e(in)i Fl(L)1407 2006 y Ft(1)1481 2039 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)1769 2006 y Fi(2)1810 2039 y Fp(\()p Fl(B)1919 2006 y Ft(0)1942 2039 y Fp(\)\))25 b Fk(\\)f Fl(L)2184 2006 y Fi(2)2223 2039 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)2532 2006 y Fi(1)2573 2039 y Fp(\()p Fl(B)2682 2006 y Ft(0)2705 2039 y Fp(\)\))38 b(indep)s(enden)m(tly)382 2174 y(of)32 b Fl(")p Fp(,)g(b)m(y)f(Sob)s(olev's)g(em)m(b)s(edding)f(and)h(in)m (terp)s(olation)f(w)m(e)i(\014nd)e(that)p 2811 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y Fp(\)\).)61 b(Consequen)m(tly)-8 b(,)p 3276 3812 V 39 w Fe(u)3334 3877 y Fh(")382 3999 y Fp(is)30 b(relativ)m(ely)g(compact)i(in)e Fl(L)1404 3966 y Fi(2)1443 3999 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)1731 3966 y Fi(2)1772 3999 y Fp(\()p Fl(B)1881 3966 y Ft(0)1904 3999 y Fp(\)\).)43 b(This)29 b(will)f(enable)j(us)f(to)h(pass)g(to)g(the)382 4134 y(limit)d(in)h(the)i(equations)f(as)g Fl(")h Fp(go)s(es)g(to)g (zero.)382 4450 y Fq(5)135 b(P)l(assage)46 b(to)f(the)h(limit)382 4676 y Fp(W)-8 b(e)43 b(w)m(an)m(t)h(to)f(pass)e(to)i(the)g(limit)d(as) j Fl(")f Fp(go)s(es)h(to)g(zero)g(in)e(the)i(w)m(eak)g(form)m(ulation) 382 4811 y(satis\014ed)c(b)m(y)h Fl(\021)922 4825 y Fh(")998 4811 y Fp(and)g Fe(u)1243 4825 y Fh(")1279 4811 y Fp(.)69 b(W)-8 b(e)42 b(w)m(an)m(t)e(also)g(the)g(equalit)m(y)g(b)s(et)m(w)m (een)g(the)g(structure)382 4947 y(v)m(elo)s(cit)m(y)31 b(and)f(the)g(\015uid)e(v)m(elo)s(cit)m(y)j(at)g(the)g(in)m(terface)g (to)g(hold)e(in)g(the)h(limit.)523 5082 y(Let)j Fl(T)43 b(>)29 b Fp(0)k(suc)m(h)g(that)g(inf)1480 5096 y Fh(")1532 5082 y Fp(min)1683 5101 y Fi([0)p Fh(;T)10 b Fi(])p Ft(\002)p 1884 5063 47 3 v Fh(!)1945 5082 y Fp(\(1)23 b(+)f Fl(\021)2186 5096 y Fh(")2223 5082 y Fp(\))29 b Fk(\025)h Fl(\013)g(>)f Fp(0.)49 b(Let)33 b(us)f(denote)i(b)m(y)382 5218 y(\()p Fl(\021)s(;)512 5217 y Fp(~)505 5218 y Fe(u)q Fp(\))h(the)f(limit)e(of) i(a)h(subsequence)f(of)g(\()p Fl(\021)1907 5232 y Fh(")1944 5218 y Fl(;)p 1984 5167 59 4 v 15 w Fe(u)2043 5232 y Fh(")2079 5218 y Fp(\))2114 5232 y Fh(">)p Fi(0)2242 5218 y Fp(.)52 b(W)-8 b(e)35 b(will)d(denote)j(an)m(y)f(subse-)382 5353 y(quence)d(of)g(\()p Fl(\021)867 5367 y Fh(")904 5353 y Fl(;)p 944 5302 V 15 w Fe(u)1003 5367 y Fh(")1039 5353 y Fp(\))1074 5367 y Fh(">)p Fi(0)1233 5353 y Fp(b)m(y)f(\()p Fl(\021)1439 5367 y Fh(")1477 5353 y Fl(;)p 1517 5302 V 15 w Fe(u)1575 5367 y Fh(")1612 5353 y Fp(\))1647 5367 y Fh(">)p Fi(0)1774 5353 y Fp(.)42 b(W)-8 b(e)33 b(ha)m(v)m(e)f(the)f (follo)m(wing)e(con)m(v)m(ergences)k(as)1831 5652 y(32)p eop %%Page: 33 33 33 32 bop 382 548 a Fl(")31 b Fp(go)s(es)g(to)g(zero:)1189 669 y Fl(\021)1234 683 y Fh(")1450 669 y Fk(!)83 b Fl(\021)34 b Fp(in)29 b Fl(C)1881 636 y Fi(0)1920 669 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])22 b Fk(\002)p 2269 619 60 4 v 20 w Fl(!)s Fp(\))1189 804 y Fl(\021)1234 818 y Fh(")1450 804 y Fl(*)83 b(\021)34 b Fp(in)29 b Fl(H)1892 771 y Fi(1)1932 804 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)2241 771 y Fi(2)2234 829 y(0)2281 804 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))1189 940 y Fl(@)1237 954 y Fh(t)1267 940 y Fl(\021)1312 954 y Fh(")1450 940 y Fk(!)83 b Fl(@)1672 954 y Fh(t)1702 940 y Fl(\021)34 b Fp(in)29 b Fl(L)1949 907 y Fi(2)1988 940 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2276 907 y Fi(2)2317 940 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))p 1189 1024 59 4 v 1189 1075 a Fe(u)1247 1089 y Fh(")1450 1075 y Fk(!)1631 1074 y Fp(~)1624 1075 y Fe(u)31 b Fp(in)e Fl(L)1881 1042 y Fi(2)1920 1075 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2208 1042 y Fi(2)2249 1075 y Fp(\()p Fl(B)2358 1042 y Ft(0)2381 1075 y Fp(\)\))1189 1211 y Fl(\032)1236 1225 y Fh(")1273 1211 y Fe(u)1331 1225 y Fh(")1450 1211 y Fk(!)83 b Fl(\032)1677 1210 y Fp(~)1671 1211 y Fe(u)31 b Fp(in)e Fl(L)1928 1178 y Fi(2)1967 1211 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2255 1178 y Fi(2)2296 1211 y Fp(\()p Fl(B)2405 1178 y Ft(0)2428 1211 y Fp(\)\))p 1189 1295 V 1189 1346 a Fe(u)1247 1360 y Fh(")1450 1346 y Fl(*)1631 1345 y Fp(~)1624 1346 y Fe(u)31 b Fp(in)e Fl(L)1881 1313 y Fi(2)1920 1346 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)2229 1313 y Fi(1)2222 1373 y(0)p Fh(;)p Fi(\000)2321 1382 y Fg(0)2361 1346 y Fp(\()p Fl(B)2470 1313 y Ft(0)2493 1346 y Fp(\)\))1189 1482 y Fl(\021)1237 1449 y Ft(\003)1234 1504 y Fh(")1450 1482 y Fk(!)83 b Fl(\021)34 b Fp(in)29 b Fl(C)1881 1449 y Fi(0)1920 1482 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])22 b Fk(\002)p 2269 1432 60 4 v 20 w Fl(!)s Fp(\))1189 1617 y Fl(@)1237 1631 y Fh(t)1267 1617 y Fl(\021)1315 1584 y Ft(\003)1312 1640 y Fh(")1450 1617 y Fk(!)83 b Fl(@)1672 1631 y Fh(t)1702 1617 y Fl(\021)34 b Fp(in)29 b Fl(L)1949 1584 y Fi(2)1988 1617 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2276 1584 y Fi(2)2317 1617 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))1189 1753 y Fe(u)1247 1720 y Ft(\003)1247 1775 y Fh(")1450 1753 y Fk(!)1631 1752 y Fp(~)1624 1753 y Fe(u)31 b Fp(in)e Fl(L)1881 1720 y Fi(2)1920 1753 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2208 1720 y Fi(2)2249 1753 y Fp(\()p Fl(B)2358 1720 y Ft(0)2381 1753 y Fp(\)\))3209 1206 y(\(36\))523 1931 y(Moreo)m(v)m(er)40 b Fl(\032)977 1945 y Fh(")1014 1931 y Fk(r)p Fe(u)1148 1945 y Fh(")1222 1931 y Fp(tends)d(to)i(some)f Fe(z)g Fp(w)m(eakly)g(in)e Fl(L)2393 1898 y Fi(2)2433 1931 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2721 1898 y Fi(2)2761 1931 y Fp(\()p Fl(B)2870 1898 y Ft(0)2894 1931 y Fp(\)\))38 b(as)g Fl(")g Fp(go)s(es)382 2067 y(to)e(zero.)57 b(It)35 b(is)g(easy)h(to)g(v)m(erify)f(that,)i(since)e Fl(\021)2024 2034 y Ft(\003)2021 2089 y Fh(")2097 2067 y Fk(!)f Fl(\021)f Fp(in)d Fl(C)2479 2034 y Fi(0)2517 2067 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])25 b Fk(\002)p 2873 2017 V 24 w Fl(!)s Fp(\),)37 b Fe(z)d Fp(=)f(0)j(in)385 2178 y Ff(c)382 2202 y Fl(B)456 2176 y Ft(0)499 2202 y Fk(n)572 2179 y Ff(b)565 2202 y Fp(\012)631 2216 y Fh(\021)668 2197 y Fo(\003)666 2233 y Fd(")738 2202 y Fp(and)30 b Fe(z)p Fk(j)992 2219 y Fa(b)986 2236 y Fi(\012)1037 2244 y Fd(\021)1105 2202 y Fp(=)25 b Fk(r)1283 2201 y Fp(~)1277 2202 y Fe(u)p Fp(.)41 b(Th)m(us,)1203 2473 y Fl(\032)1250 2487 y Fh(")1287 2473 y Fk(r)p Fe(u)1421 2487 y Fh(")1483 2473 y Fl(*)25 b(\032)p Fk(r)1728 2472 y Fp(~)1722 2473 y Fe(u)30 b Fp(in)f Fl(L)1978 2436 y Fi(2)2018 2473 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)2306 2436 y Fi(2)2346 2473 y Fp(\()p Fl(B)2455 2436 y Ft(0)2478 2473 y Fp(\)\))661 b(\(37\))523 2663 y(First)30 b(w)m(e)h(tak)m(e)h(care)f(of)f(the)h(equalit)m(y)971 2890 y Fe(u)1029 2904 y Fh(")1066 2890 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g Fp(1)22 b(+)e Fl(\021)1560 2852 y Ft(\003)1557 2912 y Fh(")1599 2890 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\)\))27 b(=)e(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)2293 2904 y Fh(t)2325 2890 y Fl(\021)2370 2904 y Fh(")2407 2890 y Fp(\()p Fl(t;)g(x;)g(y)s Fp(\)\))2725 2852 y Fh(T)382 3116 y Fp(on)22 b(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(\))s Fk(\002)s Fl(!)s Fp(.)39 b(The)22 b(righ)m(t)f(hand)g(side)g(con)m(v)m(erges)j(to)e(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)2459 3130 y Fh(t)2491 3116 y Fl(\021)s Fp(\))2574 3083 y Fh(T)2652 3116 y Fp(in)21 b Fl(L)2812 3083 y Fi(2)2851 3116 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(L)3139 3083 y Fi(2)3180 3116 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\).)382 3252 y(F)-8 b(or)31 b(the)g(left)f(hand)f(side,)h (w)m(e)g(considere)g(the)h(function)e Fe(w)2413 3266 y Fh(")2479 3252 y Fp(de\014ned)g(for)i(a.e.)41 b Fl(t)30 b Fp(b)m(y)1217 3528 y Fe(w)1293 3542 y Fh(")1355 3528 y Fp(=)1451 3369 y Ff(\014)1451 3424 y(\014)1451 3478 y(\014)1451 3533 y(\014)1451 3587 y(\014)1523 3465 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)1776 3479 y Fh(t)1808 3465 y Fl(\021)1853 3479 y Fh(")1889 3465 y Fp(\))1924 3432 y Fh(T)2010 3465 y Fp(in)29 b Fl(B)2190 3432 y Ft(0)2233 3465 y Fk(n)21 b Fl(C)2364 3483 y Fh(\013=)p Fi(2)1523 3600 y Fk(R)p Fp(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)1853 3614 y Fh(t)1885 3600 y Fl(\021)1930 3614 y Fh(")1966 3600 y Fp(\))2001 3567 y Fh(T)2087 3600 y Fp(in)29 b Fl(C)2258 3619 y Fh(\013=)p Fi(2)2378 3600 y Fl(;)382 3837 y Fp(where)44 b Fk(R)h Fp(is)g(a)g(linear)e(con)m(tin)m(uous)i (lifting)e(op)s(erator)i(from)g Fl(H)2699 3774 y Fg(1)p 2699 3786 31 3 v 2699 3827 a(2)2743 3837 y Fp(\()p Fl(!)34 b Fk(\002)29 b(f)p Fl(\013=)p Fp(2)p Fk(g)p Fp(\))48 b(to)382 3972 y Fl(H)465 3939 y Fi(1)458 3999 y(0)p Fh(;)p Fi(\000)557 4008 y Fg(0)595 3972 y Fp(\()p Fl(C)695 3991 y Fh(\013=)p Fi(2)816 3972 y Fp(\))33 b(suc)m(h)g(that)h Fk(R)p Fp(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)1622 3986 y Fh(t)1654 3972 y Fl(\021)1699 3986 y Fh(")1736 3972 y Fp(\))1771 3939 y Fh(T)1859 3972 y Fp(is)32 b(div)m(ergence)i(free.)49 b(Then,)34 b(the)f(function)p 382 4056 59 4 v 382 4108 a Fe(u)440 4122 y Fh(")506 4108 y Fk(\000)c Fe(w)682 4122 y Fh(")763 4108 y Fp(b)s(elongs)43 b(to)h Fl(L)1289 4075 y Fi(2)1329 4108 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)1638 4075 y Fi(1)1678 4108 y Fp(\()p Fl(B)1787 4075 y Ft(0)1811 4108 y Fp(\)\))44 b(and)g(is)f(b)s(ounded)f(in)h(this)g (space)i(inde-)382 4243 y(p)s(enden)m(tly)34 b(of)j Fl(")p Fp(.)58 b(Th)m(us,)36 b(a)h(subsequence)e(of)h(\()p 2051 4192 V Fe(u)2110 4257 y Fh(")2171 4243 y Fk(\000)23 b Fe(w)2341 4257 y Fh(")2377 4243 y Fp(\))2412 4257 y Fh(">)p Fi(0)2576 4243 y Fp(con)m(v)m(erges)38 b(w)m(eakly)e(in)382 4379 y Fl(L)444 4346 y Fi(2)483 4379 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)792 4346 y Fi(1)833 4379 y Fp(\()p Fl(B)942 4346 y Ft(0)965 4379 y Fp(\)\))28 b(to)h Fe(w)1248 4393 y Fi(0)1312 4379 y Fp(=)1414 4378 y(~)1408 4379 y Fe(u)14 b Fk(\000)g Fe(w)29 b Fp(\(with)d(an)i(ob)m(vious)f (de\014nition)e(of)j Fe(w)q Fp(\).)40 b(W)-8 b(e)28 b(ha)m(v)m(e)382 4514 y Fe(w)458 4528 y Fi(0)525 4514 y Fp(=)g(0)k(on)g(\000)886 4528 y Fi(0)958 4514 y Fp(and)f(in)1251 4491 y Ff(b)1244 4514 y Fp(\012)1310 4529 y Fh(\021)r Fi(+)p Fh(\016)1472 4514 y Fp(for)h(all)f Fl(\016)h(>)c Fp(0,)33 b(since)e Fl(\021)2287 4481 y Ft(\003)2284 4537 y Fh(")2359 4514 y Fp(con)m(v)m(erges)j(uniformly)29 b(to)k Fl(\021)s Fp(.)382 4650 y(Th)m(us)624 4649 y(~)618 4650 y Fe(u)h Fp(=)g(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)1068 4664 y Fh(t)1100 4650 y Fl(\021)s Fp(\))1183 4617 y Fh(T)1274 4650 y Fp(in)1389 4626 y Ff(c)1386 4650 y Fl(B)1460 4623 y Ft(0)1506 4650 y Fk(n)1583 4627 y Ff(b)1576 4650 y Fp(\012)1642 4664 y Fh(\021)1719 4650 y Fp(and)35 b Fe(w)1977 4664 y Fi(0)2050 4650 y Fk(2)f Fl(L)2207 4617 y Fi(2)2247 4650 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(;)i Fl(H)2556 4617 y Fi(1)2549 4674 y(0)2596 4650 y Fp(\(\012)2697 4664 y Fh(\021)2739 4650 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\)\).)58 b(Lemma)36 b(2)382 4785 y(implies)27 b(that)k Fl(\015)934 4804 y Fh(\021)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1057 4785 y Fp(\()p Fe(w)1168 4799 y Fi(0)1207 4785 y Fp(\))26 b(=)f(0,)31 b(but)e Fl(\015)1678 4804 y Fh(\021)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1801 4785 y Fp(\()p Fe(w)q Fp(\))d(=)f(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)2323 4799 y Fh(t)2355 4785 y Fl(\021)s Fp(\))2438 4752 y Fh(T)2493 4785 y Fp(,)31 b(hence)1442 5012 y Fl(\015)1489 5030 y Fh(\021)r Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1611 5012 y Fp(\()1652 5011 y(~)1646 5012 y Fe(u)q Fp(\))26 b(=)e(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(@)2114 5026 y Fh(t)2146 5012 y Fl(\021)s Fp(\))2229 4974 y Fh(T)2285 5012 y Fl(:)1831 5652 y Fp(33)p eop %%Page: 34 34 34 33 bop 382 548 a Fp(Next)31 b(w)m(e)g(pass)f(to)h(the)g(limit)d(in)h (the)h(w)m(eak)i(form)m(ulation:)480 675 y Ff(Z)531 881 y Fi(\012)582 898 y Fd(\021)616 881 y Fo(\003)614 912 y Fd(")656 881 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))755 799 y Fe(u)813 813 y Fh(")850 799 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))21 b Fk(\001)f Fl(\036)1073 813 y Fh(")1110 799 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))h Fk(\000)1325 675 y Ff(Z)1416 701 y Fh(t)1375 881 y Fi(0)1460 675 y Ff(Z)1511 881 y Fi(\012)1562 898 y Fd(\021)1596 881 y Fo(\003)1594 912 y Fd(")1636 881 y Fi(\()p Fh(s)p Fi(\))1743 799 y Fe(u)1801 813 y Fh(")1858 799 y Fk(\001)f Fl(@)1951 813 y Fh(t)1981 799 y Fl(\036)2035 813 y Fh(")2092 799 y Fp(+)g Fl(\027)2249 675 y Ff(Z)2340 701 y Fh(t)2299 881 y Fi(0)2385 675 y Ff(Z)2435 881 y Fi(\012)2486 898 y Fd(\021)2520 881 y Fo(\003)2518 912 y Fd(")2560 881 y Fi(\()p Fh(s)p Fi(\))2667 799 y Fk(r)p Fe(u)2801 813 y Fh(")2863 799 y Fp(:)25 b Fk(r)p Fl(\036)3043 813 y Fh(")741 1084 y Fp(+)842 1022 y(1)p 842 1063 46 4 v 842 1146 a(2)912 960 y Ff(Z)1003 986 y Fh(t)963 1166 y Fi(0)1048 960 y Ff(Z)1099 1166 y Fi(\012)1150 1184 y Fd(\021)1184 1167 y Fo(\003)1182 1198 y Fd(")1224 1166 y Fi(\()p Fh(s)p Fi(\))1315 1084 y Fp(\()p Fe(u)1408 1046 y Ft(\003)1408 1106 y Fh(")1468 1084 y Fk(\001)c(r)p Fp(\))p Fe(u)1683 1098 y Fh(")1740 1084 y Fk(\001)f Fl(\036)1839 1098 y Fh(")1896 1084 y Fk(\000)1997 1022 y Fp(1)p 1997 1063 V 1997 1146 a(2)2068 960 y Ff(Z)2159 986 y Fh(t)2118 1166 y Fi(0)2204 960 y Ff(Z)2254 1166 y Fi(\012)2305 1184 y Fd(\021)2339 1167 y Fo(\003)2337 1198 y Fd(")2379 1166 y Fi(\()p Fh(s)p Fi(\))2471 1084 y Fp(\()p Fe(u)2564 1046 y Ft(\003)2564 1106 y Fh(")2624 1084 y Fk(\001)g(r)p Fp(\))p Fe(u)2838 1098 y Fh(")2895 1084 y Fk(\001)h Fl(\036)2995 1098 y Fh(")477 1369 y Fk(\000)578 1308 y Fp(1)p 578 1348 V 578 1432 a(2)648 1246 y Ff(Z)739 1272 y Fh(t)699 1452 y Fi(0)784 1246 y Ff(Z)835 1452 y Fh(!)900 1369 y Fl(@)948 1383 y Fh(t)978 1369 y Fl(\021)1023 1383 y Fh(")1060 1369 y Fl(@)1108 1383 y Fh(t)1138 1369 y Fl(\021)1186 1332 y Ft(\003)1183 1392 y Fh(")1226 1369 y Fl(b)f Fp(+)1376 1246 y Ff(Z)1426 1452 y Fh(!)1492 1369 y Fl(@)1540 1383 y Fh(t)1570 1369 y Fl(\021)1615 1383 y Fh(")1652 1369 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))15 b Fl(b)p Fp(\()p Fl(t)p Fp(\))21 b Fk(\000)2024 1246 y Ff(Z)2115 1272 y Fh(t)2074 1452 y Fi(0)2160 1246 y Ff(Z)2210 1452 y Fh(!)2276 1369 y Fl(@)2324 1383 y Fh(t)2354 1369 y Fl(\021)2399 1383 y Fh(")2451 1369 y Fl(@)2499 1383 y Fh(t)2529 1369 y Fl(b)f Fp(+)2679 1246 y Ff(Z)2770 1272 y Fh(t)2729 1452 y Fi(0)2814 1246 y Ff(Z)2865 1452 y Fh(!)2930 1369 y Fp(\001)p Fl(@)3054 1383 y Fh(t)3084 1369 y Fl(\021)3129 1383 y Fh(")3181 1369 y Fp(\001)p Fl(b)391 1623 y Fp(+)471 1499 y Ff(Z)562 1526 y Fh(t)521 1706 y Fi(0)606 1499 y Ff(Z)657 1706 y Fh(!)723 1623 y Fp(\001)p Fl(\021)844 1637 y Fh(")895 1623 y Fp(\001)p Fl(b)25 b Fp(=)1131 1499 y Ff(Z)1222 1526 y Fh(t)1182 1706 y Fi(0)1267 1499 y Ff(Z)1318 1706 y Fi(\012)1369 1723 y Fd(\021)1403 1706 y Fo(\003)1401 1737 y Fd(")1442 1706 y Fi(\()p Fh(t)p Fi(\))1542 1623 y Fe(f)19 b Fk(\001)9 b Fl(\036)1681 1637 y Fh(")1727 1623 y Fp(+)1807 1499 y Ff(Z)1898 1526 y Fh(t)1858 1706 y Fi(0)1943 1499 y Ff(Z)1993 1706 y Fh(!)2059 1623 y Fl(g)28 b(b)9 b Fp(+)2258 1499 y Ff(Z)2309 1706 y Fi(\012\(0\))2469 1623 y Fe(u)2527 1586 y Fh(")2527 1646 y Fi(0)2576 1623 y Fk(\001)g Fl(\036)2664 1637 y Fh(")2701 1623 y Fp(\(0\))g(+)2905 1499 y Ff(Z)2957 1706 y Fh(!)3022 1623 y Fl(\021)3070 1586 y Fh(")3067 1646 y Fi(1)3107 1623 y Fl(b)p Fp(\(0\))p Fl(;)382 1883 y Fp(for)26 b(a.e.)41 b Fl(t)26 b Fp(and)g(for)g(all)g (\()p Fl(\036)1272 1897 y Fh(")1309 1883 y Fl(;)15 b(b)p Fp(\))26 b Fk(2)f(V)1591 1897 y Fh(\021)1628 1877 y Fo(\003)1626 1913 y Fd(")1681 1883 y Fk(\002)13 b Fl(C)1837 1850 y Fi(1)1875 1883 y Fp(\([0)p Fl(;)i(T)e Fp(];)i Fl(H)2234 1850 y Fi(2)2227 1907 y(0)2275 1883 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\))28 b(suc)m(h)e(that)h Fl(\036)2916 1897 y Fh(")2953 1883 y Fp(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s(;)g Fp(1)e(+)382 2018 y Fl(\021)427 2032 y Fh(")464 2018 y Fp(\()p Fl(t;)i(x;)g(y)s Fp(\)\))27 b(=)d(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(b)p Fp(\()p Fl(t;)g(x;)g(y)s Fp(\)\))1466 1985 y Fh(T)1525 2018 y Fp(,)31 b(\()p Fl(t;)15 b(x;)g(y)s Fp(\))26 b Fk(2)f Fp([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(])21 b Fk(\002)f Fl(!)s Fp(.)523 2154 y(The)35 b(\015uid)d(test)k(functions)e Fc(a)j(priori)45 b Fp(dep)s(end)34 b(on)g Fl(")p Fp(.)55 b(Ho)m(w)m(ev)m(er,)39 b(it)34 b(is)g(su\016cien)m(t)382 2289 y(to)e(consider)f(test)i (functions)d(that)j(do)f(not)g(dep)s(end)e(on)i Fl(")g Fp(and)f(that)h(are)h(admissible)382 2424 y(for)d Fl(")h Fp(small)e(enough.)523 2560 y(As)45 b(b)s(efore,)j(w)m(e)d(consider)f (test)i(functions)d(of)i(the)g(form)g(\()p Fl(\036)2711 2527 y Fi(0)2751 2560 y Fl(;)15 b Fp(0\),)50 b(with)43 b Fl(\036)3221 2527 y Fi(0)3310 2560 y Fk(2)382 2695 y(D)s Fp(\()p Fk([)551 2714 y Fh(t)p Ft(2)p Fi([0)p Fh(;T)10 b Fi(])772 2695 y Fk(f)p Fl(t)p Fk(g)31 b(\002)f Fp(\012)1093 2709 y Fh(\021)1134 2695 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))46 b(and)f(div)14 b Fl(\036)1703 2662 y Fi(0)1793 2695 y Fp(=)49 b(0.)86 b(These)45 b(test)h(functions)e(satisfy)g(the)382 2831 y(prop)s(ert)m(y)c(that)h Fl(\036)1025 2798 y Fi(0)1064 2831 y Fp(\()p Fl(t;)15 b Fk(\001)p Fp(\))44 b Fk(2)e(D)s Fp(\(\012)1553 2845 y Fh(\021)1594 2831 y Fp(\()p Fl(t)p Fp(\)\))g(for)e(ev)m(ery)h Fl(t)p Fp(.)71 b(Hence)41 b(for)g Fl(")g Fp(small)e(enough,)382 2966 y Fl(\036)436 2933 y Fi(0)501 2966 y Fk(2)25 b(V)643 2980 y Fh(\021)680 2961 y Fo(\003)678 2997 y Fd(")720 2966 y Fp(,)31 b(since)f Fl(\021)1047 2933 y Ft(\003)1044 2989 y Fh(")1117 2966 y Fp(con)m(v)m(erges)i(uniformly)27 b(to)k Fl(\021)j Fp(as)d Fl(")25 b Fk(#)h Fp(0.)523 3102 y(The)32 b(second)h(pair)e(of)i (test)g(functions)e(w)m(e)i(consider)f(is)f(\()p Fl(\036)2551 3069 y Fi(1)2591 3102 y Fl(;)15 b(b)p Fp(\))33 b(where)f Fl(b)h Fp(b)s(elongs)382 3237 y(to)e Fl(C)565 3204 y Fi(1)604 3237 y Fp(\([0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(];)i Fl(H)963 3204 y Fi(2)956 3262 y(0)1004 3237 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\)\),)32 b(with)1433 3164 y Ff(R)1476 3269 y Fh(!)1541 3237 y Fl(b)25 b Fp(=)g(0)31 b(and)f(for)g(a.e.)42 b Fl(t)p Fp(:)1287 3498 y Fl(\036)1341 3461 y Fi(1)1406 3498 y Fp(=)1502 3339 y Ff(\014)1502 3394 y(\014)1502 3448 y(\014)1502 3503 y(\014)1502 3557 y(\014)1574 3435 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(b)p Fp(\))1853 3402 y Fh(T)1940 3435 y Fp(in)29 b Fl(B)2120 3402 y Ft(0)2163 3435 y Fk(n)21 b Fl(C)2294 3453 y Fh(\013=)p Fi(2)1574 3570 y Fk(R)p Fp(\(0)p Fl(;)15 b Fp(0)p Fl(;)g(b)p Fp(\))1930 3537 y Fh(T)2017 3570 y Fp(in)29 b Fl(C)2188 3589 y Fh(\013=)p Fi(2)2309 3570 y Fl(:)382 3757 y Fp(Since)f(min)770 3776 y Fi([0)p Fh(;T)10 b Fi(])p Ft(\002)p 971 3738 47 3 v Fh(!)1032 3757 y Fp(\(1)18 b(+)g Fl(\021)1267 3724 y Ft(\003)1264 3780 y Fh(")1307 3757 y Fp(\))26 b Fk(\025)e Fl(\013=)p Fp(2,)32 b(\()p Fl(\036)1757 3724 y Fi(1)1796 3757 y Fl(;)15 b(b)p Fp(\))30 b(is)f(a)g(pair)f(of)i(admissible)c(test) k(functions)382 3893 y(for)g(all)f Fl(")p Fp(.)523 4028 y(With)k(b)s(oth)g(t)m(yp)s(es)h(of)g(test)h(functions,)e(it)g(is)g (easy)h(to)h(pass)e(to)i(the)e(limit)f(in)g(the)382 4164 y(w)m(eak)44 b(form)m(ulation)e(as)h Fl(")g Fp(go)s(es)h(to)f(zero.)80 b(W)-8 b(e)44 b(obtain)f(the)g(existence)g(of)g(a)h(w)m(eak)382 4299 y(solution)29 b(of)h(\(16\))i(on)f(\(0)p Fl(;)15 b(T)e Fp(\))31 b(satisfying)e(energy)i(estimates)g(\(10\).)523 4455 y(Ev)m(en)m(tually)-8 b(,)30 b(w)m(e)g(sho)m(w)f(that)h(w)m(e)g (can)g(extend)f(the)h(solution)e(as)i(long)f(as)g(w)m(e)h(ha)m(v)m(e) 382 4590 y(min)533 4609 y Fi([0)p Fh(;T)10 b Fi(])p Ft(\002)p 734 4571 V Fh(!)795 4590 y Fp(\(1)18 b(+)f Fl(\021)s Fp(\))26 b Fl(>)f Fp(0.)41 b(Let)29 b(us)g(build)c(an)k(increasing)f (sequence)h(of)g(times)f(\()p Fl(T)3159 4605 y Fh(k)3203 4590 y Fp(\))3238 4605 y Fh(k)r Ft(\025)p Fi(1)382 4726 y Fp(as)40 b(follo)m(ws.)67 b(First)39 b(w)m(e)h(c)m(ho)s(ose)h(a)f (time)f Fl(T)1890 4740 y Fi(1)1970 4726 y Fl(>)h Fp(0)g(suc)m(h)g(that) g(there)g(exists)f(a)h(w)m(eak)382 4861 y(solution)e(up)g(to)i Fl(T)1048 4875 y Fi(1)1088 4861 y Fp(,)h(with)d Fl(m)1450 4875 y Fi(1)1530 4861 y Fp(=)h(min)1792 4880 y Fi([0)p Fh(;T)1908 4889 y Fg(1)1942 4880 y Fi(])p Ft(\002)p 2017 4842 V Fh(!)2079 4861 y Fp(\(1)27 b(+)e Fl(\021)s Fp(\))41 b Fl(>)f Fp(0.)68 b(P)m(ossibly)38 b(c)m(hanging)382 4997 y(sligh)m(tly)33 b Fl(T)758 5011 y Fi(1)798 4997 y Fp(,)j(w)m(e)f(ma)m(y)g(assume)g(that)g Fl(@)1766 5011 y Fh(t)1796 4997 y Fl(\021)s Fp(\()p Fl(T)1932 5011 y Fi(1)1972 4997 y Fp(\))e Fk(2)f Fl(L)2195 4964 y Fi(2)2234 4997 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\))k(and)e Fe(u)p Fp(\()p Fl(T)2727 5011 y Fi(1)2767 4997 y Fp(\))f Fk(2)f Fl(L)2990 4964 y Fi(2)3029 4997 y Fp(\(\012)3130 5011 y Fh(\021)3172 4997 y Fp(\()p Fl(T)3260 5011 y Fi(1)3300 4997 y Fp(\)\))382 5132 y(\(since)e(this)f(is)h(true)g(for)g(almost)g(ev)m(ery)i(time\).) 523 5268 y(No)m(w,)41 b(let)d Fl(k)k Fk(\025)37 b Fp(1)i(and)e(assume)h (that)h(w)m(e)g(ha)m(v)m(e)g(built)d(a)j(solution)d(up)h(to)i(some)382 5403 y(time)33 b Fl(T)645 5418 y Fh(k)688 5403 y Fp(,)h(with)e Fl(m)1037 5418 y Fh(k)1110 5403 y Fp(=)d(min)1362 5422 y Fi([0)p Fh(;T)1478 5434 y Fd(k)1516 5422 y Fi(])p Ft(\002)p 1591 5384 V Fh(!)1652 5403 y Fp(\(1)23 b(+)f Fl(\021)s Fp(\))31 b Fl(>)f Fp(0.)50 b(Our)32 b(construction)h(allo)m(ws)f(us)h (to)1831 5652 y(34)p eop %%Page: 35 35 35 34 bop 382 548 a Fp(build)30 b(an)i(extension)h(of)f(our)h (solution,)f(on)g(some)i(time)e(in)m(terv)-5 b(al)32 b(starting)g(from)h Fl(T)3303 563 y Fh(k)3345 548 y Fp(.)382 683 y(Thanks)c(to)i(the)g Fc(a)i(priori)41 b Fp(energy)30 b(estimate)i(\(10\),)g(w)m(e)f(ha)m(v)m(e)g(for)f Fl(s)25 b Fk(\025)g Fl(T)2891 698 y Fh(k)441 910 y Fp(1)c(+)f Fl(\021)s Fp(\()p Fl(s)p Fp(\))26 b Fk(\025)f Fp(1)20 b(+)g Fl(\021)s Fp(\()p Fl(T)1173 925 y Fh(k)1217 910 y Fp(\))g Fk(\000)g Fp(\()p Fl(s)g Fk(\000)g Fl(T)1605 925 y Fh(k)1648 910 y Fp(\))1693 846 y Fg(1)p 1693 858 31 3 v 1693 899 a(2)1738 910 y Fl(C)7 b Fp(\()p Fl(T)1898 925 y Fh(k)1941 910 y Fl(;)15 b(s)p Fp(\))25 b Fk(\025)g Fl(m)2260 925 y Fh(k)2323 910 y Fk(\000)20 b Fp(\()p Fl(s)g Fk(\000)g Fl(T)2656 925 y Fh(k)2699 910 y Fp(\))2744 846 y Fg(1)p 2744 858 V 2744 899 a(2)2788 910 y Fl(C)7 b Fp(\()p Fl(T)2948 925 y Fh(k)2991 910 y Fl(;)15 b(s)p Fp(\))g Fl(;)60 b Fp(\(38\))382 1137 y(with)465 1389 y Fl(C)7 b Fp(\()p Fl(T)625 1404 y Fh(k)668 1389 y Fl(;)15 b(s)p Fp(\))25 b(=)928 1366 y(~)907 1389 y Fl(C)979 1288 y Ff(\020)1033 1389 y Fk(k)p Fe(u)p Fp(\()p Fl(T)1224 1404 y Fh(k)1268 1389 y Fp(\))p Fk(k)1348 1408 y Fh(L)1396 1390 y Fg(2)1431 1408 y Fi(\(\012)1509 1416 y Fd(\021)1541 1431 y Fg(0)1580 1408 y Fi(\))1612 1389 y Fl(;)15 b Fk(k)p Fl(@)1745 1403 y Fh(t)1776 1389 y Fl(\021)s Fp(\()p Fl(T)1912 1404 y Fh(k)1955 1389 y Fp(\))p Fk(k)2035 1412 y Fh(H)2098 1390 y Fg(2)2093 1434 y(0)2134 1412 y Fi(\()p Fh(!)r Fi(\))2239 1389 y Fl(;)1333 1483 y Ff(Z)1423 1510 y Fh(s)1383 1690 y(T)1424 1702 y Fd(k)1482 1607 y Fp(exp)o(\()p Fl(s)21 b Fk(\000)f Fl(u)p Fp(\)\()p Fk(k)p Fe(f)10 b Fk(k)2064 1627 y Fh(L)2112 1608 y Fg(2)2148 1627 y Fi(\(\012)2226 1635 y Fd(\021)2264 1627 y Fi(\()p Fh(u)p Fi(\)\))2391 1607 y Fp(\()p Fl(u)p Fp(\))21 b(+)f Fk(k)p Fl(g)s Fk(k)2761 1627 y Fh(L)2809 1608 y Fg(2)2845 1627 y Fi(\()p Fh(!)r Fi(\))2951 1607 y Fp(\()p Fl(u)p Fp(\)\))p Fl(du)3207 1506 y Ff(\021)3262 1607 y Fl(;)382 1885 y Fp(where)671 1862 y(~)650 1885 y Fl(C)43 b Fp(is)35 b(p)s(ositiv)m(e)f(and)i (nondecreasing)f(with)g(resp)s(ect)g(to)i(its)e(argumen)m(ts,)j(and)382 2020 y Fl(C)7 b Fp(\()p Fl(T)542 2035 y Fh(k)585 2020 y Fl(;)15 b(s)p Fp(\))56 b Fk(\024)f Fl(C)7 b Fp(\(0)p Fl(;)15 b(s)p Fp(\).)96 b(This)47 b Fc(a)j(priori)59 b Fp(estimate)50 b(sho)m(ws)e(that)h(if)f(w)m(e)h(let)g Fl(\034)3202 2035 y Fh(k)3300 2020 y Fp(=)382 2156 y(min)n Fk(f)p Fp(1)p Fl(;)15 b Fp(\()p Fl(m)778 2171 y Fh(k)823 2156 y Fl(=)p Fp(2)p Fl(C)7 b Fp(\()p Fl(T)1073 2171 y Fh(k)1116 2156 y Fl(;)15 b(T)1209 2171 y Fh(k)1272 2156 y Fp(+)j(1\)\))1476 2123 y Fi(2)1517 2156 y Fk(g)p Fp(,)31 b(w)m(e)f(can)g(build)d(a)j(solution)f(starting)g(from)h Fe(u)p Fp(\()p Fl(T)3267 2171 y Fh(k)3310 2156 y Fp(\),)382 2291 y Fl(\021)s Fp(\()p Fl(T)518 2306 y Fh(k)561 2291 y Fp(\))44 b(and)e Fl(@)877 2305 y Fh(t)907 2291 y Fl(\021)s Fp(\()p Fl(T)1043 2306 y Fh(k)1087 2291 y Fp(\))h(up)f(to)i(the)f(time) g Fl(T)1875 2306 y Fh(k)1946 2291 y Fp(+)29 b Fl(\034)2086 2306 y Fh(k)2171 2291 y Fp(\(this)42 b(corresp)s(onds)g(to)i(c)m(ho)s (osing)382 2427 y Fl(\013)26 b Fp(=)f Fl(m)642 2442 y Fh(k)684 2427 y Fl(=)p Fp(2)g(in)e(the)h(construction)f(of)h(the)g (solution\).)38 b(The)23 b(time)h Fl(T)2657 2442 y Fh(k)r Fi(+1)2814 2427 y Fp(is)f(c)m(hosen)h(close)382 2562 y(to)31 b Fl(T)546 2577 y Fh(k)608 2562 y Fp(+)19 b Fl(\034)738 2577 y Fh(k)810 2562 y Fp(\(in)29 b([)p Fl(T)1029 2577 y Fh(k)1092 2562 y Fp(+)19 b Fl(\034)1222 2577 y Fh(k)1265 2562 y Fl(=)p Fp(2)p Fl(;)c(T)1448 2577 y Fh(k)1511 2562 y Fp(+)k Fl(\034)1641 2577 y Fh(k)1684 2562 y Fp(]\),)31 b(in)d(order)i(to)h(ha)m(v)m(e)g(also)f Fl(@)2693 2576 y Fh(t)2723 2562 y Fl(\021)s Fp(\()p Fl(T)2859 2577 y Fh(k)r Fi(+1)2992 2562 y Fp(\))c Fk(2)f Fl(L)3201 2529 y Fi(2)3240 2562 y Fp(\()p Fl(!)s Fp(\))382 2698 y(and)30 b Fe(u)p Fp(\()p Fl(T)705 2713 y Fh(k)r Fi(+1)838 2698 y Fp(\))c Fk(2)f Fl(L)1047 2665 y Fi(2)1086 2698 y Fp(\(\012)1187 2712 y Fh(\021)1229 2698 y Fp(\()p Fl(T)1317 2713 y Fh(k)r Fi(+1)1450 2698 y Fp(\)\).)523 2858 y(W)-8 b(e)35 b(let)f Fl(T)884 2825 y Ft(\003)954 2858 y Fp(=)c(sup)1192 2880 y Fh(k)1250 2858 y Fl(T)1303 2873 y Fh(k)1346 2858 y Fp(.)51 b(If)33 b Fl(T)1582 2825 y Ft(\003)1652 2858 y Fl(<)e Fp(+)p Fk(1)p Fp(,)j(then)g Fl(m)2266 2825 y Ft(\003)2336 2858 y Fp(=)d(min)2589 2876 y Fi([0)p Fh(;T)2715 2858 y Fo(\003)2751 2876 y Fi(])p Ft(\002)p 2826 2839 47 3 v Fh(!)2887 2858 y Fp(\(1)23 b(+)g Fl(\021)s Fp(\))31 b(=)g(0.)382 2993 y(Otherwise,)26 b(since)g Fl(m)1133 3008 y Fh(k)1201 2993 y Fk(\025)f Fl(m)1377 2960 y Ft(\003)1443 2993 y Fp(for)h(all)g Fl(k)s Fp(,)i Fl(\034)1844 3008 y Fh(k)1912 2993 y Fk(\025)d Fp(min)n Fk(f)p Fp(1)p Fl(;)15 b Fp(\()p Fl(m)2404 2960 y Ft(\003)2445 2993 y Fl(=)p Fp(2)p Fl(C)7 b Fp(\(0)p Fl(;)15 b(T)2793 2960 y Ft(\003)2834 2993 y Fp(\)\))2904 2960 y Fi(2)2944 2993 y Fk(g)26 b Fl(>)f Fp(0.)39 b(But)382 3129 y Fl(T)435 3144 y Fh(k)r Fi(+1)589 3129 y Fk(\000)21 b Fl(T)734 3144 y Fh(k)804 3129 y Fk(\025)27 b Fl(\034)942 3144 y Fh(k)984 3129 y Fl(=)p Fp(2)33 b(and)e(go)s(es)h(to)g(zero,)h(whic)m(h)e(is)f(a)i (con)m(tradiction.)45 b(This)29 b(ac)m(hiev)m(es)382 3264 y(the)h(pro)s(of)g(of)h(the)f(theorem.)382 3581 y Fq(6)135 b(Conclusion,)45 b(remarks)h(and)e(extensions)382 3806 y Fp(W)-8 b(e)39 b(ha)m(v)m(e)f(pro)m(v)m(ed)g(ab)s(o)m(v)m(e)h (that)f(there)f(exists)g(at)i(least)e(one)h(w)m(eak)g(solution)f(of)g (our)382 3942 y(coupled)c(\015uid{plate)f(problem.)51 b(A)34 b(similar)d(pro)s(of)j(w)m(ould)f(imply)f(the)i(existence)g(of) 382 4077 y(a)42 b(w)m(eak)g(solution)f(for)g(a)h(2D)g(\015uid)e (describ)s(ed)f(b)m(y)j(the)g(Na)m(vier{Stok)m(es)h(equations)382 4213 y(coupled)36 b(to)h(a)g(mem)m(brane)g(with)e(an)i(additional)e (viscous)h(term.)60 b(In)36 b(this)g(case)h(the)382 4348 y(elastic)42 b(energy)h(is)f(describ)s(ed)e(b)m(y)i(a)h(second)g(order) f(op)s(erator)h(and)e(the)i(structure)382 4484 y(equations)30 b(are)1101 4619 y Fl(@)1149 4633 y Fh(tt)1204 4619 y Fl(\021)24 b Fk(\000)19 b Fp(\001)p Fl(\021)24 b Fk(\000)c Fp(\001)p Fl(@)1723 4633 y Fh(t)1752 4619 y Fl(\021)29 b Fp(=)c(\()p Fl(T)2010 4634 y Fh(f)2056 4619 y Fp(\))2091 4633 y Fi(2)2151 4619 y Fp(+)20 b Fl(g)34 b Fp(in)29 b(\(0)p Fl(;)15 b Fp(1\))p Fl(:)523 4809 y Fp(F)-8 b(or)34 b(the)g(three{dimensional)e(case,)j(instead)e(of)h(the)f(considered)g 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b(is)g(lo)s(cally)f(a)i (subgraph.)80 b(W)-8 b(e)45 b(remark)f(that)g(an)g(additional)e(term)i (that)382 2047 y(regularizes)28 b(the)g(structure)h(v)m(elo)s(cit)m(y)g (is)e(imp)s(ortan)m(t)h(at)i(man)m(y)e(steps:)40 b(\014rst)28 b(to)h(de\014ne)382 2183 y(the)j(extension)g(of)g(a)h(\015uid)d(v)m (elo)s(cit)m(y)i(and)g(next)g(to)h(obtain)e(the)i(estimates)f(that)h (giv)m(e)382 2318 y(the)d(compactness)i(result.)382 2635 y Fq(App)t(endix:)59 b(Pro)t(of)45 b(of)g(Lemma)h(8)382 2860 y Fp(Here)31 b(w)m(e)g(giv)m(e)g(the)f(details)f(of)i(the)g (calculations)e(that)i(lead)f(to)h(the)g(estimate)943 3131 y Fk(k)p Fl(@)1036 3145 y Fh(t)1067 3131 y Fe(u)p 1067 3146 59 4 v -37 x Fh(m;n)1125 3154 y(")1254 3131 y Fk(k)1299 3151 y Fh(L)1347 3132 y Fg(2)1382 3151 y Fi(\(0)p Fh(;T)10 b Fi(;)p Fh(L)1583 3132 y Fg(2)1617 3151 y Fi(\()p Ft(C)t Fi(\)\))1765 3131 y Fp(+)20 b Fk(k)p Fl(@)1949 3145 y Fh(tt)2005 3131 y Fl(\021)2053 3094 y Fh(n)2050 3154 y(")2100 3131 y Fk(k)2145 3151 y Fh(L)2193 3132 y 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Fp(is)f(b)s(ounded)e(indep)s(enden)m(tly)f(of)382 2141 y(\()p Fl(m;)15 b(n)p Fp(\))45 b(since)e Fe(u)p 908 2156 V 45 w Fp(is)g(b)s(ounded)f(in)h Fl(L)1683 2108 y Fi(2)1722 2141 y Fp(\(0)p Fl(;)15 b(t)p Fp(;)g Fl(H)1998 2108 y Fi(1)2039 2141 y Fp(\()p Fk(C)5 b Fp(\)\))46 b(and)d Fl(@)2481 2155 y Fh(t)2511 2141 y Fl(A)i Fp(is)e(b)s(ounded)f(in)h Fl(L)3296 2108 y Ft(1)382 2310 y Fp(indep)s(enden)m(tly)24 b(of)k(\()p Fl(m;)15 b(n)p Fp(\).)40 b(The)27 b(third)e(term)i Fl(T)2053 2324 y Fi(3)2118 2310 y Fp(=)e Fl(\027)2280 2186 y Ff(Z)2371 2212 y Fh(t)2330 2392 y Fi(0)2416 2186 y Ff(Z)2466 2392 y Ft(C)2526 2310 y Fl(A)p Fk(r)p Fe(u)p 2670 2325 V Fk(r)2819 2224 y Ff(X)2873 2419 y Fh(i)2966 2310 y Fl(\025)3019 2324 y Fh(i)3047 2310 y Fl(@)3095 2324 y Fh(t)3125 2310 y Fl(\036)3179 2324 y Fh(i)3234 2310 y Fp(can)382 2505 y(b)s(e)h(estimated)g(b)m(y)h(a)g(constan)m(t)g (indep)s(enden)m(t)e(of)h(\()p Fl(m;)15 b(n)p Fp(\))27 b(thanks)f(to)h(the)g(b)s(ound)d(on)j Fl(A)382 2640 y Fp(in)c Fl(L)544 2607 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