% MISE EN PAGE
%%%%%In plain TeX
%%Test
%%THIS IS A LEFT PARENTHESIS (
%%THIS IS A RIGHT PARENTHESIS )
\magnification 1100

\hsize150truemm\vsize 240truemm\hoffset=5truemm\voffset=-3truemm
\def\dimstand{\hsize 150truemm\vsize 240truemm\hoffset=5truemm\voffset=-3truemm}
\pretolerance=500\tolerance=1000\brokenpenalty=5000
\parindent5mm
\newcount\chstart
\chstart=\pageno
\headline={\ifnum \pageno=\chstart {\hfill} \else {\hss \tenrm --\ \folio\
--\hss}\fi}
\footline={\hfil}
\normalbaselines
\frenchspacing
\def\eqno{\leqno}
\def\eqalignno{\leqalignno}

%pour eviter les rectangles noirs:
%\overfullrule=Opt

%% titres de paragraphes:
\newcount\contsflag
\contsflag=0
\def\section#1#2{\goodbreak\noi{\bf\S\ #1. #2}\smallskip}
%\def\section#1#2{\goodbreak\noindent {\bf\S\  #1 #2}\smallskip%
%\ifnum\contsflag=1{ \write0{+Contsect[#1][#2][\the\pageno]} }\fi
%}

%% pour aller a la ligne dans un \proclaim:
\def\PAR{\par}



% FONTES & FAMILLES

\font\tenmsa=msam10% symboles d'AMSTEX
\font\ninemsa=msam10 at 9pt
\font\eightmsa=msam10 at 8pt
\font\sevenmsa=msam7
\font\sixmsa=msam10 at 6pt
\font\fivemsa=msam5
\newfam\msafam\textfont\msafam=\tenmsa\scriptfont\msafam=
\sevenmsa\scriptscriptfont\msafam=\fivemsa

\font\seventeenbb=msbm10 at 17pt % Lettres evidees pour titres
\font\twelvebb=msbm10 at 12pt
\font\tenbb=msbm10 %Lettres evidees
\font\ninebb=msbm10 at 9pt
\font\eightbb=msbm10 at 8pt
\font\sevenbb=msbm7
\font\sixbb=msbm10 at 6pt
\font\fivebb=msbm5
\newfam\bbfam
\textfont\bbfam=\tenbb\scriptfont\bbfam=\sevenbb\scriptscriptfont\bbfam=\fivebb
\def\bb{\fam\bbfam\tenbb}%


\font\tenscal=eusm10% Lettres de ronde
\font\ninescal=eusm10 scaled 900
\font\eightscal=eusm10 scaled 800
\font\sevenscal=eusm10 scaled 700
\font\sixscal=eusm10 scaled 600
\font\fivescal=eusm5
\newfam\scalfam\textfont\scalfam=\tenscal\scriptfont\scalfam=\sevenscal
\def\scal{\fam\scalfam\tenscal}%

\font\tenscalb=eusb10% Lettres de ronde grasses
\font\ninescalb=eusb10 scaled 900
\font\eightscalb=eusb10 scaled 800
\font\sevenscalb=eusb10 scaled 700
\font\sixscalb=eusb10 scaled 600
\font\fivescalb=eusb5
\newfam\scalbfam\textfont\scalbfam=\tenscalb\scriptfont\scalbfam=\sevenscalb
\def\scalb{\fam\scalbfam\tenscalb}%


\font\fourteenrm=cmr12 scaled 1200% Romain
\font\twelverm=cmr12
\font\ninerm=cmr9
\font\eightrm=cmr8
\font\sept=cmr7
\font\sixrm=cmr6

\font\gras=cmbx10 scaled 1100 % Gras romain (boldface)
\font\TIT=cmbx12 scaled 1600% Titres
\font\seventeenrm=cmbx12 scaled 1400
\font\chiffre=cmbx10 scaled 1600
\font\titre=cmbx12 scaled 1200
\font\pti=cmbx12 scaled 1200
\font\twelvebf=cmbx12
\font\ninebf=cmbx9
\font\eightbf=cmbx8
\font\sixbf=cmbx6

%% Pour les titres (168pt)

\def\tit{%
\textfont0=\seventeenrm\def\rm{\fam0\seventeenrm}%
\textfont1=\seventeeni\scriptfont1=\twelvei%
\textfont2=\seventeensy\scriptfont2=\twelvesy
\textfont3=\seventeenex
\textfont\itfam=\seventeenti
\def\it{\fam\itfam\\seventeenti}%
\textfont\bbfam=\seventeenbb \scriptfont\bbfam=\twelvebb
\def\bb{\fam\bbfam\seventeenbb}%
%\textfont\scalfam=\eightscal
%\def\scal{\fam\scalfam\eightscal}
\normalbaselineskip=16pt\normalbaselines\rm}


\font\seventeenti=cmbxti10 scaled 1680 % italiques grasses pour titres
\font\twelveti=cmbx10 scaled 1200
\font\twelveit=cmti12
\font\nineit=cmti9% italiques
\font\eightit=cmti8
\font\sevenit=cmti7
\font\sixit=cmti10 scaled 600
\font\fiveit=cmti10 scaled 500

\font\seventeeni=cmmib10 scaled 1680% italique mathematique gras pour titres
\font\twelvei=cmmib10 scaled 1200
\font\ninei=cmmi9 % italique mathematique
\font\eighti=cmmi8
\font\seveni=cmmi7
\font\sixi=cmmi6

\font\ninesl=cmsl9% slanted
\font\eightsl=cmsl8
\font\sixsl=cmsl10 scaled 650
\font\fivesl=cmsl10 scaled 500

\font\ninett=cmtt9% typewriter
\font\eighttt=cmtt8
\font\sixtt=cmtt10 scaled 550
\font\fivett=cmtt10 scaled 500

\font\seventeensy=cmsy10 scaled 1680% symboles pour titres
\font\twelvesy=cmsy10 scaled 1176
\font\ninesy=cmsy9% symboles
\font\eightsy=cmsy8
\font\sixsy=cmsy6
\font\seventeenex=cmex10 at 17pt
\font\nineex=cmex10 at 9pt
\font\eightex=cmex10 at 8pt


% CARACTERES SPECIAUX

\expandafter\chardef\csname pre amssym.def at\endcsname=\the\catcode`\@
\catcode`\@=11
\def\undefine#1{\let#1\undefined}
\def\newsymbol#1#2#3#4#5{\let\next@\relax
 \ifnum#2=\@ne\let\next@\msafam@\else
 \ifnum#2=\tw@\let\next@\bbfam@\fi\fi
 \mathchardef#1="#3\next@#4#5}
\def\mathhexbox@#1#2#3{\relax
 \ifmmode\mathpalette{}{\m@th\mathchar"#1#2#3}%
 \else\leavevmode\hbox{$\m@th\mathchar"#1#2#3$}\fi}
\def\hexnumber@#1{\ifcase#1 0\or 1\or 2\or 3\or 4\or 5\or 6\or 7\or 8\or
 9\or A\or B\or C\or D\or E\or F\fi}

\def\setboxz@h{\setbox\z@\hbox}
\def\wdz@{\wd\z@}
\def\boxz@{\box\z@}

\edef\msafam@{\hexnumber@\msafam}
\mathchardef\dabar@"0\msafam@39

\edef\bbfam@{\hexnumber@\bbfam}
\def\widehat#1{\setboxz@h{$\m@th#1$}%
 \ifdim\wdz@>\tw@ em\mathaccent"0\bbfam@5B{#1}%
 \else\mathaccent"0362{#1}\fi}
\def\widetilde#1{\setboxz@h{$\m@th#1$}%
 \ifdim\wdz@>\tw@ em\mathaccent"0\bbfam@5D{#1}%
 \else\mathaccent"0365{#1}\fi}
\newsymbol\leqq 1335% superieur ou egal(=)
\newsymbol\leqslant 1336
\newsymbol\lessgtr 1337 % superieur ou inferieur
\newsymbol\backprime 1038 % apostrophe de gauche a droite
\newsymbol\risingdotseq 133A% egal entre points (bas puis haut)
\newsymbol\fallingdotseq 133B % egal entre points (haut puis bas)
\newsymbol\succcurlyeq 133C % superieur ou egal tordu
\newsymbol\geqq 133D% inferieur ou egal(=)
\newsymbol\geqslant 133E
\newsymbol\nmid 232D
\newsymbol\nexists 2040
\newsymbol\smallsetminus 2272
\newsymbol\varnothing 203F

\catcode`\@=\active

% FIN CARACTERES SPECIAUX


% MACROS DIVERSES

\def\og{\leavevmode\raise.24ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle\>$}}
\def\fg{\leavevmode\raise.24ex\hbox{$\scriptscriptstyle\>\rangle\!\rangle$}}
\def\chv#1{\langle#1\rangle}
\def\d{\,{\rm d}}
\def\dt{\d t}
\def\du{\d u}
\def\dx{\d x}
\def\dy{\d y}
\def\z{{\bb Z}}
\def\r{{\bb R}}
\def\CC{{\bb C}}
\def\N{{\bb N}}
\def\Q{{\bb Q}}
\def\F{{\bb F}}
\def\PP{{\bb P}}
\def\TT{{\bb T}}
\def\UU{{\bb U}}

\def\A{{\cal A}}
\def\B{{\cal B}}
\def\C{{\scal C}}
\def\D{{\cal D}}
\def\E{{\cal E}}
\def\G{{\cal G}}
\def\HH{{\cal H}}
\def\I{{\cal I}}
\def\J{{\cal J}}
\def\K{{\cal K}}
\def\L{{\cal L}}
\def\M{{\cal M}}
\def\n{{\cal N}}
\def\O{{\cal O}}
\def\P{{\scal P}}
\def\QQ{{\scal Q}}
\def\R{{\cal R}}
\def\s{{\cal S}}
\def\T{{\cal T}}
\def\V{{\cal V}}
\def\W{{\cal W}}
\def\X{{\cal X}}
\def\Y{{\cal Y}}
\def\Z{{\cal Z}}
\def\f{{\cal F}}
\def\di#1#2{\sct#1\atop{\sct#2}}

%SYMBOLES MATHS

\def\e{{\rm e}}
\def\mod{{\rm mod}\,}
\def\md#1#2{\equiv#1\,({\rm mod\,}#2)}
\def\no#1{{\|}#1{\|}}
\def\ddp#1#2{\dsp{\partial#1\over\partial #2}}
\def\tdv{\rightarrow}
\def\ssi{\Leftrightarrow}
\def\tvi{\tdv +\infty}
%\def\v{\varepsilon}
\def\ep{\varepsilon}
\def\epsilon{\varepsilon}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\phi{\varphi}
\def\theta{\vartheta}
\def\rho{\varrho}
\def\dm{{\textstyle{1\over 2}}}
\def\txt{\textstyle}
\def\dsp{\displaystyle}
\def\sct{\scriptstyle}
\def\nid{\noindent{\it D\'emonstration. }}
\def\pf{\noi{\it Proof. }}
\def\noi{\noindent}
\def\rem{\noi{\it Remarque.}\ }
\def\re{{\Re e\,}}
\def\im{{\Im m\,}}
\def\ov{\overline}
\def\un{\underline}
\def\sset{\smallsetminus}
\def\setminus{\sset}
\def\emptyset{{\varnothing}}
\def\pl{\partial}
\def\pp{{\rm pp}}
\def\dim{\mathop{\rm dim}\nolimits}
\def\1{{\bf 1}}
\def\|{\parallel}
\def\le{\leqslant}\def\leq{\leqslant}

%% Lettres plombees
\def\pmb#1{\setbox0=\hbox{#1}%
\kern-.025em\copy0\kern-\wd0\kern.05em\copy0\kern-\wd0\kern-.025em\raise.043
3em\box0 }
\def\pd{\pmb{$\delta$}}
\def\ft#1#2{{\txt{#1\over #2}}}

%\break{\penalty -10000}

% NOTES EN BAS DE PAGE

% Pour que les accents se placent correctement en mode math en corps 8 et 6
\skewchar\eighti='177 \skewchar\sixi='177
\skewchar\eightsy='60 \skewchar\sixsy='60

\def\eightpoint{%
\textfont0=\eightrm\scriptfont0=\sixrm\scriptscriptfont0=\fiverm
\def\rm{\fam0\eightrm}%
\textfont1=\eighti\scriptfont1=\sixi
\scriptscriptfont1=\fivei\def\oldstyle{\fam1\seveni}%
\textfont2=\eightsy\scriptfont2=\sixsy\scriptscriptfont2=\fivesy
\textfont3=\eightex
\textfont\itfam=\eightit
\def\it{\fam\itfam\eightit}%
\textfont\slfam=\eightsl
\def\sl{\fam\slfam\eightsl}%
\textfont\bbfam=\eightbb \scriptfont\bbfam=\sixbb\scriptscriptfont\bbfam=\fivebb
\def\bb{\fam\bbfam\eightbb}%
\textfont\msafam=\eightmsa\scriptfont\msafam=\sixmsa
\textfont\scalfam=\eightscal
\def\scal{\fam\scalfam\eightscal}
\textfont\ttfam=\eighttt
\def\tt{\fam\ttfam\eighttt}%
\textfont\bffam=\eightbf\scriptfont\bffam=\sixbf\scriptscriptfont\bffam=\fivebf
\def\bf{\fam\bffam\eightbf}%
\abovedisplayskip=2pt plus2pt minus 2pt
\belowdisplayskip=2pt plus1pt minus 2pt
\abovedisplayshortskip= 1pt plus 2pt minus 1pt
\belowdisplayshortskip= 1pt plus 2pt minus 1pt
\smallskipamount=2pt plus 1pt minus 2pt
\medskipamount=3pt plus 2pt minus 2pt
\bigskipamount=7pt plus 3pt minus 3pt
\setbox\strutbox=\hbox{\vrule height 5pt depth 2pt width 0pt}%
\normalbaselineskip=9pt\normalbaselines\rm}


\def\note#1#2{\footnote{#1}{\noi\eightpoint #2\par}}
\def\pclm#1#2{\noi\bf#1\sl\ #2}

\def\({\left(}
\def\){\right)}

\def\footnoterule{\kern -2pt\hrule width 7truecm\kern 2.4pt}

%\interfootnoteskip-3pt

%Fin des definitions pour les notes en bas de page

% PARAGRAPHES EN NEUF POINTS

\def\ninepoint{%
\textfont0=\ninerm\scriptfont0=\sixrm\scriptscriptfont0=\fiverm
\def\rm{\fam0\ninerm}%
\textfont1=\ninei\scriptfont1=\sixi
\scriptscriptfont1=\fivei\def\oldstyle{\fam1\ninei}%
\textfont2=\ninesy\scriptfont2=\sixsy\scriptscriptfont2=\fivesy
\textfont3=\nineex
\textfont\itfam=\nineit
\def\it{\fam\itfam\nineit}%
\textfont\slfam=\ninesl
\def\sl{\fam\slfam\ninesl}%
\textfont\bbfam=\ninebb\scriptfont\bbfam=\sixbb\scriptscriptfont\bbfam=\fivebb
\def\bb{\fam\bbfam\ninebb}%
\textfont\msafam=\ninemsa\scriptfont\msafam=\sixmsa\scriptscriptfont\msafam=
\fivemsa
\textfont\scalfam=\ninescal
\def\scal{\fam\scalfam\ninescal}
\textfont\ttfam=\ninett
\def\tt{\fam\ttfam\ninett}%
\textfont\bffam=\ninebf\scriptfont\bffam=\sixbf\scriptscriptfont\bffam=\fivebf
\def\bf{\fam\bffam\ninebf}%
\abovedisplayskip=3pt plus2pt minus 2pt
\belowdisplayskip=3pt plus1pt minus 2pt
\abovedisplayshortskip= 2pt plus 2pt minus 1pt
\belowdisplayshortskip= 2pt plus 2pt minus 1pt
\smallskipamount=2pt plus 1pt minus 2pt
\medskipamount=3pt plus 2pt minus 2pt
\bigskipamount=7pt plus 3pt minus 3pt
\setbox\strutbox=\hbox{\vrule height 5pt depth 2pt width 0pt}%
\normalbaselineskip=10.5pt plus.3pt minus.3pt\normalbaselines\rm}

\def\neufpts#1{{\ninepoint#1}\par}

\def\th{\theta}\def\v{\varepsilon}\def\Ps{\Psi (x,y)}
\def\rff#1#2{\Big({#1\over #2}\Big)}
\def\TR{{\rm Tr}}
\font\esm=eusb10 %scaled 1100
\font\esn=eusm10
\font\chap=cmbx10 scaled\magstep3
\def\ET{\hbox{\esm T}}
\def\EC{\hbox{\esn C}}
\def\E{\hbox{\esm E}}
\def\ES{\hbox{\esm S}}
\def\leftnote#1{\vadjust{\setbox1=\vtop{\hsize 20mm\parindent=0pt\sevenrm
\baselineskip=9pt\rightskip=4mm plus 4mm#1}\hbox{\kern-2cm\smash{\box1}}}}
\null\vskip 20mm

\centerline{\tit Preuve de la conjecture de
Lieb--Thirring}\bigskip\centerline{\tit dans
le cas des potentiels }
\bigskip\centerline{\tit quadratiques strictement convexes.}

\vskip 7mm
\centerline{ R. de la Bret\`eche \note{*}{
Ce travail a \'et\'e partiellement effectu\'e dans le cadre du programme
TMR 96001 de la
commission europ\'eenne : \'Equations aux d\'eriv\'ees partielles et
applications \`a la
m\'ecanique quantique.}\note{ }{
 Mots cl\'es : conjecture de Lieb--Thirring, valeurs propres
d'op\'erateur \PAR
$\quad$Classification AMS : 35P15, 35J10, 35P99.
} }
\vskip 13mm
\section{1}{Introduction}
Soit $P_V(h)=-h^2\Delta +V$ l'op\'erateur de Schr\"odinger associ\'e \`a un
potentiel
$V\in C^0(\r^n)$. Nous supposons que $$\lim
_{{\|}x{\|}\to+\infty}V(x)=+\infty\leqno{(1)}$$ afin que le spectre de
$P_V(h)$ dans $\r$
soit discret i.e. que les valeurs propres de
$P_V(h)$ soient isol\'ees et aient un ordre de multiplicit\'e fini. On
d\'esigne par
$$\lambda(1,h)\leq \lambda(2,h)\leq \ldots\leq \lambda(i,h)\leq \ldots $$
ses valeurs propres avec leur multiplicit\'e.
\par On note $C_+^0(\r)$ l'espace des fonctions r\'eelles continues \`a
support inclus dans
$\r^+$. Pour une large classe de fonction $\phi$ de $C_+^0(\r)$, on a,
lorsque $h$ tend
vers $0$, l'\'equivalent
$$\TR \big( \phi (E-P_V(h))\big)\sim {h^{-n}\over (2\pi
)^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi
(E-\xi^2-V(x))\d x\d \xi.$$
 Ici, $\xi^2=\langle \xi,\xi\rangle =\sum_{i=1}^n\xi_i^2$ lorsque
$\xi=(\xi_1,\xi_2,\ldots ,\xi_n)$ et $n\geq 1$. Un probl\`eme int\'eressant
et naturel est
de d\'eterminer pour quelle fonction $\phi$ de $C_+^0(\r)$ on a
l'in\'egalit\'e
 $$ \TR \big(\phi (E-P_V(h))\big)\leq {h^{-n}\over
(2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi (E-\xi^2-V(x))\d x\d \xi\qquad(\forall E\in
\r,\forall h\in\r^+).\leqno{(*)}$$ (Des sous probl\`emes seraient obtenus
en fixant $h$ ou
$E$.) On note $\ES_V$ l'ensemble des fonctions $\phi$ de $C_+^0(\r)$ v\'erifiant
l'in\'egalit\'e ($*$) relative
\`a un potentiel $V$.
\par\smallskip\goodbreak
On note $t_+:= \max\{t,\,0\}\quad (t\in \r)$ et
on d\'esigne par $\phi_\gamma$ la fonction d\'efinie par
$$\phi_\gamma(t)=t_+^\gamma
\quad (t\in \r ).$$ Lorsque
$\phi=\phi_\gamma$ $\gamma\geq 1$ et $n\geq 3$, l'in\'egalit\'e ($*$) correspond
\`a {\it la conjecture de Lieb--Thirring}. Dans la litt\'erature, celle-ci
s'\'enonce
diff\'eremment. Nous allons maintenant introduire les notations relatives
\`a cette
conjecture. On remarque que, par un changement de variable, on a pour tout
$E\in\r^+$
$${1\over (2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}(E-\xi^2-V(x))_+^\gamma\d x\d
\xi=L^C_{\gamma,n}\int_{\r^n} (E-V(x))_+^{\gamma+n/2}\d x
$$
avec $$L^C_{\gamma,n}:=\Big( (2\sqrt{\pi})^n
\Gamma(\gamma+1+n/2)\Big)^{-1}\Gamma
(\gamma+1).$$
Dans [LT76], Lieb et Thirring \'etablissent que, pour $\gamma>\max
(0,1-n/2)$, il existe
$C>0$ telle que, pour tout $V$ v\'erifiant $(E-V)_+\in
L^{\gamma+n/2}(\r^n)$, on ait la
majoration
$$\TR \big(\phi_\gamma (E-P_V(h))\big)\leq
Ch^{-n}\int_{\r^n} (E-V(x))_+^{\gamma+n/2}\d x\quad\quad\qquad(\forall
E\in\r).\leqno{(2)}$$
On note $L _{\gamma,n}$ la plus petite valeur de $C$ admissible et
$L^{quad}_{\gamma,n}$ la plus petite valeur de $C$ admissible lorsque l'on
se restreint
\`a des potentiels  quadratiques $V$ de la forme $V(x)=\sum_{i=1}^n
k_i^2x_i^2$ avec
$k\in (\r_*^+)^n$. La conjecture de Lieb--Thirring est
\'equivalente \`a $L_{\gamma,n}=L^C_{\gamma,n}$ pour $\gamma\geq 1$, $n\geq
3$. Pour les
applications en physique de l'in\'egalit\'e (2), nous renvoyons le lecteur
\`a [LT76].


\par\goodbreak
Il est clair que $L_{\gamma,n}\geq L^C_{\gamma,n}$. Dans [AL78],
Aizenman et Lieb ont \'etabli que la fonction $\gamma\mapsto L_{\gamma,n}/
L^C_{\gamma,n}$ est d\'ecroissante. On note $\gamma_C(n)$ le borne
inf\'erieur de
l'ensemble des
$\gamma$ tels que
$L_{\gamma,n}= L^C_{\gamma,n}$ quand elle existe. Le seul r\'esultat
d\'efinitif connu
est $\gamma_C(1)=\ft 32$ (voir [LT76], [AL78] et [HR90-1]). En remarquant que
$L^C_{\gamma,n}\leq L^{quad}_{\gamma,n}\leq L_{\gamma,n}$, Helffer et Robert
ont montr\'e dans [HR90-2] que pour tout $n\in \N$ et pour $\gamma <1$ on a
$L^{quad}_{\gamma,n}> L^C_{\gamma,n}$ et, par cons\'equent,
$\gamma_C(n)\geq 1$ pour tout $n\geq 1$.
\par \smallskip

Le r\'esultat principal de ce travail permet d'affirmer que
$L^{quad}_{\gamma,n}=
L^C_{\gamma,n}$ pour tout $\gamma\geq 1$ et $n\in\N$.
Lorsque $V(x)=\sum_{i=1}^n k_i^2x_i^2$ avec $k\in (\r_*^+)^n$, les valeurs
propres de
$P_V(h)$ sont donn\'ees par
$$\lambda (m)=h\sum_{i=1}^n (2m_i+1)k_i \qquad \qquad (m\in \N^n).\leqno{(3)}$$
Il est donc naturel de v\'erifier ($*$) tout d'abord pour de tels potentiels.
Dans [HR83], Helffer et Robert
 ont \'etabli que, pour tout $f\in C^\infty_0(\r)$ et $h$ qui tend vers
$0$, on a
$$\TR \big( f(E-P_V(h))\big)={h^{-n}\over (2\pi
)^n}\Big( C_0(f)+h^2C_2(f)+O(h^3)\Big),$$
o\`u
$$\left\{\eqalign{C_0(f)&:=\int_{\r^n}\int_{\r^n}f (E-\xi^2-V(x))\d x\d \xi,\cr
C_2(f)&=-\kappa(n,\gamma)\int_{\r^n}\int_{\r^n}f'' (E-\xi^2-V(x)){\|}\nabla
V(x){\|}^2\d x\d
\xi,
\cr}\right.$$
$\kappa (n,\gamma)$ \'etant ind\'ependant de $V$ et de $f$.
Pour toute fonction convexe de
$C^\infty(\r)$ \`a support inclus dans $\r^+$, l'in\'egalit\'e ($*$) est
donc vraie
pour
$h$ suffisamment petit pourvu que $f''$ ne soit pas identiquement nulle sur
$[0,E]$. De
plus, Helffer et Robert ont montr\'e dans [HR90] que ($*$)
\'etait fausse pour certains
$E$ lorsque
$\phi=\phi_\gamma$ o\`u $\gamma<1$ et $n\in\N$.
Signalons aussi l'\'etude num\'erique [HP90] de Helffer et Parisse allant
dans le sens de
$L^{quad}_{\gamma,n}= L^C_{\gamma,n}$ pour $n\in\N^*$ et $\gamma\geq 1$.


\smallskip\goodbreak
Notre r\'esultat principal affirme que l'in\'egalit\'e ($*$) est vraie pour une
fonction $\phi$ convexe lorsque $V(x)=\sum_{i=1}^n
k_i^2x_i^2$. Nous supposerons de plus que $\phi$ est continue.

\proclaim Th\'eor\`eme.
Soit $n\in\N_*$, $V(x)=\sum_{i=1}^n k_i^2x_i^2$ o\`u $k\in (\r_*^+)^n$ et une
fonction $\phi$ de $C_+^0(\r)$ convexe.
Alors, pour tout $E\in\r^+$ et $h\in\r^+_*$, on a
$$\sum_{m\in \N } \phi\Big( E-h\sum_{i=1}^n (2m_i+1)k_i \Big) \leq
{h^{-n}\over (2\pi )^n}\int_{\r^n }\int_{\r^n}\phi
 (E-\xi^2-V(x))\d x\d \xi.\leqno{(4)}$$
\par\smallskip\goodbreak




\par\noi{\it Remarques } : (i) Il est \`a noter que
 pour tout $\phi $ de $C_+^0(\r)$ on a
$$
{h^{-n}\over (2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi
\Big(E-\xi^2-\sum_{i=1}^nk_i^2x_i^2\Big)\d x\d \xi=\int_{(\r_+)^n} \phi
\Big(E- 2h\sum_{i=1}^nk_i x_i \Big)\d x.\leqno{(5)}$$ En effet, un premier
changement
de variables fournit
$$\eqalign{
{1\over (2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi
\Big(E-\xi^2-\sum_{i=1}^nk_i^2x_i^2\Big)\d x\d \xi&\cr=
{1\over (2\pi )^n\prod _{i=1}^n k_i}&\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi
\Big(E- \sum_{i=1}^n (\xi_i^2+x_i^2)\Big)\d x\d \xi.\cr}$$
Apr\`es $n$ changements de variables en coordonn\'ees polaires, il vient
$$\eqalign{
{1\over (2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi
\Big(E-\xi^2-\sum_{i=1}^nk_i^2x_i^2\Big)\d x\d \xi&=
{1\over \prod _{i=1}^n k_i}\int_{(\r_+)^n} \phi
\Big(E- \sum_{i=1}^n u_i^2\Big) \prod _{i=1}^n u_i\d u.\cr}$$
Enfin, en faisant le changement de variables $x_i=u_i^2/(2k_ih)$, on
obtient la formule
 (5) annonc\'ee.

D'apr\`es ces calculs, pour d\'emontrer le th\'eor\`eme, on peut se ramener
au cas $h=1$ en
posant
$k'=kh$. Pour
\'etablir
 (4), nous supposerons donc $h=1$.

\par\smallskip\goodbreak
\noi(ii) Au vu de
 (5), le th\'eor\`eme revient \`a comparer une somme discr\`ete de valeurs
de $\phi$
\`a une int\'egrale sur des valeurs de $\phi$. Ceci explique l'hypoth\`ese
de convexit\'e
faite sur $\phi$.

\par\smallskip\goodbreak
\noi (iii) Les pr\'ec\'edents calculs fournissent aussi
$$\eqalign{
{1\over (2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi_\gamma
\Big(E-\xi^2-\sum_{i=1}^nk_i^2x_i^2\Big)\d x\d \xi&={1\over
\prod_{j=1}^n(\gamma+j)}{E^{\gamma+n}\over 2^n\prod _{i=1}^n k_i}
\cr&={\Gamma(
\gamma+1)\over 2^n\Gamma(\gamma+n+1)}{E^{\gamma+n}\over \prod _{i=1}^n k_i}\cr}
\leqno{(6)}$$
o\`u l'on a utilis\'e l'identit\'e $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$.
\smallskip\goodbreak
La fonction $\phi_\gamma$ est convexe pour $\gamma\geq 1$. On en d\'eduit
le corollaire
suivant qui r\'epond aux questions pos\'ees dans [HR90-2] et [HP90].
En utilisant les notations relatives \`a la conjecture de Lieb--Thirring, on
a $L^{quad}_{\gamma,n}= L^C_{\gamma,n}$ pour tout
$\gamma\geq 1$ et
$n\in\N$.

\proclaim Corollaire 1. Pour tout $E\in\r^+$ et tout
$ k \in (\r^+_*)^n$, on a$$ \sum_{m\in \N^n}\Big(
E-h\sum_{i=1}^n (2m_i+1)k_i\Big)_+^\gamma\leq{\Gamma (\gamma+1)\over
2^n\Gamma(\gamma+n+1)}{E^{\gamma+n}h^{-n} \over \prod _{i=1}^n
k_i}.\leqno{(7)} $$

\par
\noindent{\it Remarque} : Lorsque $\gamma=1$ et $n=1$, on peut calculer
facilement cette
somme. Cela permet d'\'etablir que (7) peut \^etre une \'egalit\'e.
\par\bigskip\goodbreak

Ces r\'esultats peuvent \^etre \'etendus aux op\'erateurs de Schr\"odinger
avec champ
magn\'etique constant et potentiels quadratiques.
Soit$$H_{(B,K)}=\sum_{j=1}^n\Big(i
\partial_j\, -\ft 12 (Bx)_j\Big)^2+ \langle x,Kx\rangle$$
o\`u $B$ est une matrice $n\times n$ r\'eelle antisym\'etrique, $(Bx)_j$
d\'esigne la
$j$-i\`eme composante de $Bx\in \r^n$ et $K$ est une matrice r\'eelle
sym\'etrique
d\'efini positive. Lorsque $B=0$, on retrouve l'op\'erateur $P_V(1)$
associ\'e \`a
$V(x)=\langle x,Kx\rangle$. On a
\proclaim Corollaire 2. Soient $H_{(B,K)}$ d\'efini comme ci-dessus. Alors
pour toute
fonction $\phi$ de $C_+^0(\r)$ convexe, on a$$\eqalign{ \TR \big(\phi
(E-H_{(B,K)})\big)&\leq {1\over
(2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi (E-\xi^2-\langle x,Kx\rangle)\d x\d \xi\cr
}\qquad(\forall E\in
\r).$$

\par\noi{\it D\'emonstration.}
Ceci est une cons\'equence directe du th\'eor\`eme. Par un calcul
explicite, le spectre de
$H_{(B,K)}$ est donn\'e par
$$\lambda(m)=\sum_{i=1}^n(2m_j+1)s_j\qquad\qquad(m\in (\N )^n)$$
o\`u les $s_j\in \r^+$ v\'erifient $\prod_{j=1}^ns_j^2=\det K$ (voir par exemple
[MU96]). Gr\^ace au Th\'eor\`eme, on a donc
$$\eqalign{ \TR \big(\phi (E-H_{(B,K)})\big)&\leq {1\over
(2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi \Big(E-\xi^2-\sum_{j=1}^n
s_j^2x_j^2\Big)\d x\d
\xi\cr&\quad= {1\over
(2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\phi (E-\xi^2-V(x))\d x\d
\xi\cr}\qquad(\forall E\in
\r) $$
o\`u on a utilis\'e un changement de variables.

\bigskip\goodbreak
\section{2}{ D\'emonstration des r\'esultats}
Nos r\'esultats se d\'eduisent de quatre lemmes faciles \`a \'etablir.

Le r\'esultat suivant affirme que l'ensemble $\ES_V$ est stable par
convolution par une
mesure positive \`a support dans $\r^+$.
\proclaim Lemme 1. Soit $V\in C^0(\r^n)$ v\'erifiant (1), $\phi\in \ES_V$
et $\mu$
une mesure positive \`a support dans $\r^+$. Alors
$\phi*\mu\in
\ES_V$.
\par\smallskip\goodbreak

\noindent{\it Remarques :} (i)
Ceci permet de retrouver le r\'esultat de [AL78] qui affirme que
$\phi_\gamma\in\cap_V
\ES_V$
implique $\phi_{\gamma'}\in \cap_V\ES_V$ pour tout $\gamma'\geq \gamma$. En
effet, on a
$$\phi_{\gamma'}={\displaystyle \phi_{\gamma'-\gamma-1}*\phi_{\gamma}\over
\displaystyle \int_0^1t^{\gamma'-\gamma-1} (1-t)^{\gamma}\d t}
\qquad (\gamma'>\gamma).$$
La d\'emonstration du Lemme 1 est calqu\'ee sur celle de [AL78].
\par\noindent (ii) Pour $\psi\in C^0_+(\r)$, on a l'\'egalit\'e
$\psi=\phi_1*\psi''$ au sens des distributions. En effet, la convolution
est bien d\'efinie pour les distributions \`a support semi-born\'e et on a
$\phi_1''=\delta$.
Puisqu'une distribution positive est une mesure, on peut affirmer gr\^ace
au Lemme 1 que si $\phi_1\in \ES_V$ alors
toute fonction convexe de $C^0_+(\r)$ est un
\'el\'ement de $\ES_V$.



\par\smallskip\goodbreak


\noi{\it D\'emonstration.} Les conditions sur $\phi$ et $\mu$ permettent
d'affirmer que
$(\phi*\mu)\in C_+^0(\r)$. Soient $\lambda(i,h)$ les valeurs propres de
$P_V(h)$. Par
d\'efinition, on a, pour tout
$E\in\r$ et $h\in\r_*^+$,
$$\eqalign{\TR \big((\phi*\mu)(E-P_V(h))\big)&=\sum_{i} (\phi*\mu)(
E-\lambda(i,h))
=\int_{0}^{+\infty}\phi (E-t-\lambda(i,h))\d \mu (t).\cr}$$
Or la fonction $\phi$ v\'erifie ($*$) pour tout $E$ ; on a donc :
$$\eqalign{\TR \big((\phi*\mu)(E-P_V(h))\big)&\leq \int_{0}^{+\infty}
{h^{-n}\over ( 2\pi )^n }\Big(\int_{\r}\int_{\r }\phi
\big(E-t-\xi^2-V(x)\big)\d x\d \xi\Big)\d \mu (t)
\cr&\quad=
{h^{-n}\over ( 2\pi )^n }
\int_{\r}\int_{\r }
\Big(\int_{0}^{+\infty} \phi\big(E-t-\xi^2-V(x)\big)\d \mu (t)\Big)\d x\d
\xi\cr&\quad=
{h^{-n}\over ( 2\pi )^n }
 \int_{\r}\int_{\r }(\phi*\mu)
 \big(E -\xi^2-V(x)\big) \d x\d \xi ,\cr}$$
ce qu'il fallait d\'emontrer.






\proclaim Lemme 2.
Soient $V_1\in C^0(\r^{n_1})$ et $V_2\in C^0(\r^{n_2})$ v\'erifiant
 (1). On d\'esigne par $V_1 \oplus V_2$ la fonction \`a $n_1+n_2$ variables
d\'efinie par
$$\forall (x_1,x_2)\in \r^{n_1}\times \r^{n_2},\qquad
(V_1\oplus V_2)(x_1,x_2)=V_1(x_1)+V_2(x_2).$$
Alors$$\ES_{V_1}\cap \ES_{V_2}\subset \ES_{V_1\oplus V_2}.$$


\par\smallskip\goodbreak
Par r\'ecurrence, on en d\'eduit le r\'esultat suivant
\proclaim Lemme 3.
Soient $ V_i\in C^0(\r)$ et $V$ d\'efini par
$$V(x)=\sum_{i=1}^n V_i(x_i).$$
Alors $$ \bigcap_{i=1}^n\ES_{V_i}\subset \ES_{V}.$$





\par\smallskip\goodbreak
\noi{\it D\'emonstration du Lemme 2.}
Soient $\lambda_{ 1}(i,h)$ et $\lambda_{ 2}(j,h)$ les valeurs propres de
$P_{V_1}(h)$ et
$P_{V_2}(h)$. La fonction $V_1\oplus V_2$ v\'erifie encore (1) et les
valeurs propres
de l'op\'erateur $P_{V_1\oplus V_2}(h)$ sont donn\'ees par
$\lambda_{ 1}(i,h)+\lambda_{ 2}(j,h)$ avec
$(i,j)\in \N^2$. Pour $\phi \in\ES_{V_1}\cap \ES_{V_2}$, nous devons donc
majorer
$$S:=\sum_{(i,j)\in \N^2}\phi (E-(\lambda_{ 1}(i,h)+\lambda_{ 2}(j,h))).$$
Puisque $\phi \in \ES_{V_1}$, on a
$$\eqalign{
S&\leq
 {h^{-n_1}\over (2\pi
)^{n_1}}\int_{\r^{n_1}}\int_{\r^{n_1}}\sum_{j\in\N}\phi (E-\lambda_{
2}(j,h)-\xi_1^2-V_1(x_1))\d x_1\d
\xi_1\cr}$$
En utilisant l'in\'egalit\'e ($*$) pour $E -\xi_1^2-V_1(x_1)$, on obtient
$$\eqalign{
S&\leq
 {h^{-n_1-n_2}\over (2\pi
)^{n_1+n_2}}\int_{\r^{n_1}}\int_{\r^{n_1}}\Big(\int_{\r^{n_2}}\int_{\r^{n_2}
}\phi (E-
\xi_1^2-
\xi_2^2-V_1(x_1)-V_2(x_2))\d x_2\d \xi_2\Big)\d x_1\d
\xi_1
\cr&\quad=
 {h^{-n_1-n_2}\over (2\pi
)^{n_1+n_2}}\int_{\r^{n_1+n_2}}\int_{\r^{n_1+n_2}} \phi
\big(E-\xi^2-(V_1\oplus V_2)(x)\big)\d x \d \xi,\cr}$$ ce qui ach\`eve la
d\'emonstration.

On remarque que cette d\'emontration reste valable si on restreint
l'in\'egalit\'e $(*)$
\`a $E\in ]-\infty,E_0]$.


\par\smallskip\goodbreak
\noindent{\it Remarque :} On a un peu mieux dans le cas $n_1=n_2=1$,
$V_1(x_1)=k_1^2x_1^2$.
Pour tout $V_2$, l'ensemble des fonctions convexes de $C_0^+(\r)$ est alors
inclus dans
$\ES_{V_1\oplus V_2}$. En effet, on peut \'ecrire $\phi_1=\phi_2'$ et on
conclut en
utilisant la remarque (ii) du Lemme 1 et que
$\phi_2\in
\ES_{V_2}$.




\medskip\goodbreak




Le lemme suivant \'enonce une propri\'et\'e sans doute classique des
fonctions convexes
dont nous aurons besoin.
\proclaim Lemme 4.
Soit une fonction $\phi$ continue sur $\r$. Alors $\phi$ est convexe si et
seulement si
on a pour tout $ a,b \in \r $ distincts l'in\'egalit\'e
$$\phi \Big( {a+b\over 2}\Big)\leq {1\over b-a}\int_{a}^b\phi (t)\d
t.\leqno{(8)}$$

\par\smallskip\goodbreak
\noi{\it D\'emonstration.}
On peut choisir $a$ et $b$ tels que $b>a$. La convexit\'e de $\phi$ implique
$$\forall t\in [a,\ft 12(a+b)]\qquad\qquad 2\,\phi \big(\ft
12(a+b)\big)\leq \phi (t)+\phi
(a+b-t).\leqno{(9)}$$
On int\'egre par rapport \`a $t$ ces deux termes sur $[a,\ft 12(a+b)]$.
Il vient
$$(b-a)\phi\big(\ft 12(a+b)\big)\leq \int_{a}^{(a+b)/2} \phi (t)\d t+
\int_a^{(a+b)/2} \phi (a+b-t)\d t=\int_a^b\phi (t)\d t $$
ce qui fournit l'in\'egalit\'e (8).

 \smallskip Lorsque $\phi\in C^2(\r)$, la r\'eciproque est
facile. En effet, l'in\'egalit\'e (9) permet d'\'ecrire, pour tout $x\in
\r$ et tout
$y\in
\r^+$,
$$R_\phi(x,y):=\int_{x}^{x+y} \phi (t)\d t-y\phi\big( x+\ft 12 y\big)\geq 0.$$
Un d\'eveloppement de Taylor au voisinage de $y=0$, $x$ \'etant fix\'e, fournit
$$R_\phi(x,y)={y^3\over 96}\phi''(x) +o(y^3))\leqno{(10)}$$ ce qui implique
$\phi''(x)\geq
0$.
\par
 La d\'emonstration pour toute fonction $\phi$ utilise la th\'eorie des
distributions.
Soit
$\theta
$ une fonction test positive de $C_0^\infty(\r)$. L'hypoth\`ese implique
l'in\'egalit\'e
$$\int_\r \theta (x)\Big(\int_{x}^{x+y} \phi (t)\d t-y\phi\big( x+\ft 12
y\big)\Big)\d
x\geq 0$$ valable pour tout $y\geq 0$. En intervertissant les sommations,
on en d\'eduit
que$$\int_\r \theta (x)\Big(\int_{x}^{x+y} \phi (t)\d t-y\phi\big( x+\ft 12
y\big)\Big)\d
x=\int_\r \phi (t)R_\theta(t-y,y)\d t\geq 0.$$ En faisant tendre $y$ vers
$0$ et en
utilisant (10), il vient
$$\int_\r \phi (t)\theta''(t)\geq 0\leqno{(11)}$$ pour tout $\theta \in
C_0^\infty(\r)$, $\theta
\geq 0$. Une fonction $\phi$ continue est convexe si et seulement si $\phi$
est une
distribution et
$\phi''\geq 0$ au sens des distributions i.e. pour tout $\theta \in
C_0^\infty(\r)$, $\theta
\geq 0$, on a $$(\phi'')(\theta)=\int_\r\phi(t)\theta''(t)\d t\geq 0 $$ qui est
l'in\'egalit\'e (11). Cette remarque \'etablit la convexit\'e de $\phi$.

 \goodbreak
\noi{\it D\'emonstration du Th\'eor\`eme.} La remarque (i) du th\'eor\`eme
nous permet de se
restreindre au cas $h=1$. Pour d\'emontrer l'in\'egalit\'e ($*$), nous
consid\'erons tout
d'abord $n=1$. Nous devons majorer
$$S_1(E,k):=\sum_{m\in \N } \phi (E-(2m +1)k)$$
par le membre de droite de (5).
L'in\'egalit\'e (8) fournit
$$\phi(E-(2m +1)k)\leq {1\over 2k} \int_{E-2(m+1)k}^{E-2mk} \phi (t)\d
t\quad\quad\quad(m\in N).\leqno{(12)}$$ En sommant ces termes, on obtient
gr\^ace \`a un
changement de variable
$$S_1(E,k)\leq {1\over 2k} \int_{-\infty}^{E } \phi (t)\d
t=\int_{0}^{+\infty } \phi
(E-2kx)\d x$$ ce qui constitue notre r\'esultat pour $n=1$.

Gr\^ace au Lemme 3, on ach\`eve la
d\'emonstration du th\'eor\`eme lorsque $n>1$.
\par\smallskip\goodbreak

Lorsque $\gamma=1$ et $m\leq (E-k)/2k$, l'in\'egalit\'e (12) est une
\'egalit\'e.
Il vient
$$\sum_{m\in\N} (E-(2m+1)k)_+={1\over 2k}\int_{E-2k[(E-k)/2k]}^Et\d t
={E^2\over
4k}-{k\over 2}\Big( 2\Big\{{E-k\over 2k}\Big\}-1\Big)^2,$$o\`u $\{t\} $
d\'esigne la partie fractionnaire de $t$. La formule (7) est
donc une
\'egalit\'e lorsque $E/(2k)\in\N$ et $n=1$.
\smallskip
\noindent{\it Remarque }: La fonction $t\to \e^t$ d\'efinie sur $\r$ est
convexe. Nos
m\'ethodes permettent de retrouver l'in\'egalit\'e classique, vraie pour
une large classe
de potentiels $V$,
$$\TR \big(\e^{E-P_V(h)}\big)\leq {h^{-n}\over
(2\pi )^n}\int_{\r^n}\int_{\r^n}\e^{ E-\xi^2-V(x)}\d x\d \xi$$
pourvu que le membre de gauche soit fini.

\smallskip
\par\noindent{\it Conclusion} : Nous avons d\'emontr\'e que l'in\'egalit\'e
de Lieb--Thirring
est vraie dans le cas quadratique pour $\gamma\geq 1$, $n\geq 1$. Ce
r\'esultat est optimal. Rappelons que
cette in\'egalit\'e n'est pas vraie pour des potentiels $V$ g\'en\'eraux lorsque
$n\leq 2$ (voir l'annexe de Barnes dans [LT76]).

 \par\smallskip
Je tiens \`a remercier B. Helffer de m'avoir propos\'e ce travail. Il
serait vain ici de
d\'enombrer ses remarques qui ont permis d'enrichir cet article.
\goodbreak
\bigskip\bigskip\goodbreak\centerline {\twelvebf Bibliographie}
\bigskip\medskip
\eightpoint{
\item{[AL78]} M. Aizenman \& E. Lieb, `` On semi-classical bounds for
eigenvalues of
Schr\"odinger Operators,'' {\it Phys. Lett.} 66A (1978) 427-429.
\item{[BS96]} Ph. Blanchard \& J. Stubbe, ``Bound States for Schr\"odinger
Hamiltonians :
Phase space methods and applications'', Rev. in Math. Physics, vol. 8, no 4, May
1996, 503-548.

\item{[HP90]} B. Helffer \& B. Parisse,`` Riesz means of bound states and
semi classical limit connected with a Lieb--Thirring's
conjecture III'', {\it Pr\'epublication de l'\'Ecole Normale sup\'erieure},
novembre
1990.
\item{[HR83]} B. Helffer \& D. Robert,
 ``Calcul fonctionnel par la transform\'ee de Mellin et applications'',
{\it J. Funct. Anal. 53}, (1983) 246-268.
\item{[HR90-1]} B. Helffer \& D. Robert,
``Riesz means of bound states and semi classical limit connected with a
Lieb-Thirring's
conjecture I'', {\it Asymptotic Analysis}, 3 (1990), 91-103.
\item{[HR90-2]} B. Helffer \& D. Robert,
``Riesz means of bound states and semi classical limit connected with a
Lieb-Thirring's
conjecture II'', {\it Ann. Inst. Henri Poincar\'e, section Physique
Th\'eorique,}{\bf 53} (2) (1990), 139-147.
\item{[LT76]} E.H. Lieb \& W.E. Thirring,
``Inequalities for the moments of the eigenvalues of the Schr\"odinger
equation and their
relation to Sobolev inequalities'', {\it Studies in Math. Phys.,} (E. Lieb,
B. Simon,
A. Wightman Eds), Princeton Univ. Press (1976), 269-303.
\item{[MU96]} H. Matsumoto \& N. Ueki, ``Spectral Analysis of Schr\"odinger
operators with
Magnetic Fields'' {\it J. Funct. Anal. } 140, No 1, 218-255.
\par}
\vskip 5mm

{\sevenrm\hsize200mm
D\'epartement de Math\'ematiques

B\^atiment 425

Universit\'e de Paris XI-Orsay

91405 Orsay cedex

France

\par}

\bye